Equacions de Euler (decorreguts)

Esta pàgina tracta sobre el fluix de decorreguts compresibles. Mes equacions de Euler en la Wikipedia en Equacions de Euler.

En dinàmica de decorreguts, les equacions de Euler són les que descriuen el moviment d'un decorregut compresible no viscós. La seua expressió correspon a les equacions de Navier-Stokes quan les components disipativas són despreciables front a les convectivas, açò nos du a les següents condicions que es poden deduir a través de l'anàlisis de magnituts de les Navier-Stokes:

Encara que habitualment s'expressen en la forma mostrada en este artícul ya que d'esta manera s'emfatisa el fet de que representen directament la conservació de massa, moment i energia. Estes equacions es diuen aixina en honor de Leonhard Euler qui les va deduir directament de les lleis de Newton (per al cas no-relativiste).

Equacions de Euler incompresibles en densitat constant i uniforme

En forma convectiva, és dir, la forma en l'operador convectivo explicitat en l'equació de moment, les equacions de Euler incompresibles en cas de densitat constant en el temps i uniforme en l'espai són:

a on:

• $𝐮$ és la velocitat de fluix vector, en components en un espai N -dimensional $u_1,u_2,\dots ,u_N$,
• $\frac{D𝐯}{Dt}=\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐯$, per a una funció genèrica (o camp) $𝐯$ denota el seu derivada material en el temps sobre el camp advectivo $𝐮$ i
• $\mathrm{\nabla }w$ és el gradient del treball termodinàmic específic (en el sentit de per unitat de massa), el terme font intern, i
• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$ és la divergència de la velocitat de fluix.
• $𝐠$ representa la força de la gravetat (per unitat de massa) actuant sobre el continu, per eixemple gravetat, acceleració inercial, acceleració del camp elèctric, etc.

La primera equació és l'equació del momentum de Euler en densitat uniforme (per a esta equació tampoc podria ser constant en el temps). Expandint la derivada material, les equacions es convertixen en:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮& =-\mathrm{\nabla }w+𝐠\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮& =0\end{array}$

De fet per a un fluix en densitat uniforme ${\rho }_0$ es complix la següent identitat:

$\mathrm{\nabla }w\equiv \mathrm{\nabla }\left(\frac{p}{{\rho }_0}\right)=\frac{1}{{\rho }_0}\mathrm{\nabla }p$

a on $p$ és la pressió mecànica. La segona equació és la restricció incompresible, que establix que la velocitat del fluix és un camp solenoidal (l'orde de les equacions no és causal, sino que subralla el fet de que la restricció incompresible no és una forma degenerada de l'equació de continuïtat, sino més be de l'equació d'energia, com quedarà clar a continuació). En particular, l'equació de continuïtat seria necessària també en este cas incompresible com una tercera equació adicional en cas que la densitat varie en el temps o varie en l'espai. Per eixemple, en densitat uniforme pero variable en el temps, l'equació de continuïtat a afegir al conjunt anterior correspondria a:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$

Aixina que, el cas de densitat constant i' uniforme és l'únic que no requerix l'equació de continuïtat com a equació adicional, independentment de la presència o absència de la restricció incompresible. De fet, el cas de les equacions de Euler incompresibles en densitat constant i uniforme que es discutix ací és un model de joguet que presenta només dos equacions simplificades, per lo que és ideal per a fins didàctics encara que en una rellevància física llimitada.

Les equacions anteriors representen respectivament la conservació de la massa (1 equació escalar) i la momentum (1 equació vectorial que conté $N$ components escalares, a on $N$ és la dimensió física de l'espai d'interés). La velocitat de fluix i la pressió són les cridades variables físiques.

En un sistema de coordenades donat per $(x_1,\dots ,x_N)$ els vectores velocitat i força externa $𝐮$ i $𝐠$ tenen components $(u_1,\dots ,u_N)$ i $(g_1,\dots ,g_N)$, respectivament. Llavors les equacions poden expressar-se en notació de subíndex com:

Singularitats$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial u_i}{\partial t}+\sum _{j=1}^N\frac{\partial (u_i{u}_j+w{\delta }_{ij})}{\partial x_j}& =g_i\\ \sum _{i=1}^N\frac{\partial u_i}{\partial x_i}& =0\end{array}$

a on els subíndexs $i$ i $j$ etiqueten els components espacials de N dimensions, i ${\delta }_{ij}$ és el Delta de Kronecker. També és freqüent l'us de la notació d'Einstein (a on la suma està implícita per índexs repetits en lloc de notació sigma).

Propietats

Encara que Euler va presentar per primera volta estes equacions en 1755, moltes qüestions fonamentals sobre elles seguixen sense resposta.

En tres dimensions espacials, en certs escenaris simplificats, les equacions de Euler produïxen singularitats.

Les solucions suaus de les equacions lliures (en el sentit de sense terme font: g=0) satisfan la conservació de l'energia cinètica específica:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}{u}^2\right)+\mathrm{\nabla }\cdot (u^2𝐮+w𝐮)=0$

En el cas unidimensional sense el terme font (tant el gradient de pressió com la força externa), l'equació del momentum es convertix en l'equació de Burgers no viscosa:

$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0$

Es tracta d'una equació modele que aporta moltes idees sobre les equacions de Euler.

Sense dimensionalización

Per a que les equacions siguen adimensionales, és necessari definir una llongitut característica $r_0$ i una velocitat característica $u_0$. Estes deuen elegir-se de manera que les variables adimensionales siguen totes d'orde un. S'obtenen aixina les següents variables adimensionales:

$\begin{array}{cc}{u}^{*}& \equiv \frac{u}{u_0},\\ r^{*}& \equiv \frac{r}{r_0},\\ t^{*}& \equiv \frac{u_0}{r_0}t,\\ p^{*}& \equiv \frac{w}{u_0^2},\\ {\mathrm{\nabla }}^{*}& \equiv r_0\mathrm{\nabla }\end{array}$

i del camp vector unitari:

$\widehat{𝐠}\equiv \frac{𝐠}{g},$

La substitució d'estes relacions inverses en les equacions de Euler, que definixen el número de Froude, dona com a resultat (ometent el * en apix):

Les equacions de Euler en el llímit de Froude (sense camp extern) es denominen equacions lliures i són conservativas. El llímit de números de Froude alts (camp extern baix) és, per tant, notable i pot estudiar-se en teoria de destorbament.

Forma de conservació

La forma de conservació emfatisa les propietats matemàtiques de les equacions de Euler, i especialment la forma contreta és a sovint la més convenient per a les simulacions de dinàmica de decorreguts computacional. Computacionalment, existixen algunes ventages en l'us de les variables conservades. Açò dona lloc a una gran classe de métodos numèrics cridats métodos conservativos.

Les equacions lliures de Euler són conservativas, en el sentit de que són equivalents a una equació de conservació:

$\frac{\partial 𝐲}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\mathrm{𝟎},$

o simplement en notació d'Einstein:

$\frac{\partial y_j}{\partial t}+\frac{\partial f_{ij}}{\partial r_i}=0_i,$

a on la cantitat de conservació $𝐲$ en este cas és un vector, i $𝐅$ és una matriu de fluix. Açò pot demostrar-se senzillament:

Dimensions espacials

Per a certs problemes, especialment quan s'utilisen per a analisar el fluix compresible en un conducte o en cas que el fluix siga cilíndrica o esféricamente simètric, les equacions de Euler unidimensionals són una primera aproximació útil. Generalment, les equacions de Euler es resolen pel método de les característiques de Riemann. Açò implica trobar curves en el pla de variables independents (és dir, $x$ i $t$) a lo llarc de les quals les equacions diferencials parcials (EDP) degeneran en equacions diferencials ordinàries (EDO). [Les solucions numèriques de les equacions de Euler es basen en gran mida en el método de les característiques.

Equacions de Euler incompresibles

En forma convectiva les equacions de Euler incompresibles en cas de densitat variable en l'espai són:

a on les variables adicionals són:

• $\rho$ és la densitat del decorregut,
• $p$ és la pressió, $p=\rho w$

La primera equació, que és la nova, és l'equació de continuïtat incompresible. De fet l'equació de continuïtat general seria:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\rho +\rho \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$

pero ací l'últim terme és idénticamente zero per a la restricció de incompresibilidad.

Fòrmula de conservació

Les equacions de Euler incompresibles en el llímit de Froude són equivalents a una única equació de conservació en cantitat conservada i fluix associat respectivament:

$𝐲=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \rho 𝐮\\ 0\end{array}\right);𝐅=\left(\begin{array}{c}\rho 𝐮\\ \rho 𝐮\otimes 𝐮+p𝐈\\ 𝐮\end{array}\right).$

ací $𝐲$ té llongitut $N+2$ i $𝐅$ té tamany $(N+2)N$. En general (no només en el llímit de Froude) les equacions de Euler són expressables com:

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}\rho \\ \rho 𝐮\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\begin{array}{c}\rho 𝐮\\ \rho 𝐮\otimes 𝐮+p𝐈\\ 𝐮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \rho 𝐠\\ 0\end{array}\right)$

Variables de conservació

Les variables de les equacions en forma de conservació encara no estan optimisades. De fet podríem definir:

$𝐲=\left(\begin{array}{c}\rho \\ 𝐣\\ 0\end{array}\right);𝐅=\left(\begin{array}{c}𝐣\\ \frac{1}{\rho }𝐣\otimes 𝐣+p𝐈\\ \frac{𝐣}{\rho }\end{array}\right).$

a on:

• $𝐣=\rho 𝐮$ és la densitat de momentum, una variable de conservació.

a on:

• $𝐟=\rho 𝐠$ és la Densitat de força, una variable conservativa

Equacions de Euler

En forma diferencial convectiva, les equacions de Euler compresibles (i més generals) poden escriure's breument en la notació derivada material:

a on les variables adicionals ací són:

• $e$ és l'energia interna específica (energia interna per unitat de massa).

Les equacions anteriors representen la conservació de la massa, la del momentum i la de l'energia: l'equació de l'energia expressada en la variable energia interna permet comprendre el víncul en el cas incompresible, pero no és de la forma més senzilla. La densitat de massa, la velocitat de fluix i la pressió són les cridades variables convectivas (o variables físiques, o variables lagrangianas), mentres que la densitat de massa, la densitat de momentum i la densitat d'energia total són les cridades variables conservades (també cridades eulerianas, o variables matemàtiques).

Si s'expandix la derivada material les equacions anteriors són:

$\{\begin{array}{cc}\frac{\partial \rho }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\rho +\rho \mathrm{\nabla }\cdot 𝐮& =0\\ \frac{\partial 𝐮}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮+\frac{\mathrm{\nabla }p}{\rho }& =𝐠\\ \frac{\partial e}{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }e+\frac{p}{\rho }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮& =0\end{array}$

Restricció incompresible (revisitada)

Tornant al cas incompresible, ara resulta evident que la restricció incompresible típica dels casos anteriors és en realitat una forma particular vàlida per a fluix incompresibles de la equació d'energia, i no de l'equació de massa. En particular, la restricció incompresible correspon a la següent equació d'energia molt simple:

$\frac{De}{Dt}=0$

Aixina, per a un decorregut incompresible no viscós l'energia interna específica és constant a lo llarc de les llínees de fluix, també en un fluix depenent del temps. La pressió en un fluix incompresible actua com un multiplicador de Lagrange, sent el multiplicador de la restricció incompresible en l'equació d'energia, i en conseqüència en fluix incompresibles no té significat termodinàmic. De fet, la termodinàmica és pròpia de fluix compresibles i degenera en fluix incompresibles.

Basant-se en l'equació de conservació de la massa, es pot posar esta equació en la forma de conservació:

$\frac{\partial \rho e}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho e𝐮)=0$

lo que significa que per a un fluix incompresible no conductivo i no viscós es complix una equació de continuïtat per a l'energia interna.

Mecànica clàssica

Este secció contempla les connotacions aplicables a la mecànica clàssica; per a decorreguts compresibles en velocitats pròximes a la velocitat de la llum es deu consultar equacions relativistes de Euler.

Encara que formalment les equacions de Euler es reduïxen a fluix irrotacional en el llímit de desaparició del número de Mach (és dir per a números de Mach molt menuts), açò no és útil en la pràctica, degut essencialment a que l'aproximació de incompresibilidad no resta exactitut als càlculs. L'expressió diferencial d'estes equacions és la següent:

a on $E=\rho e+\rho (u^2+v^2+w^2)/2$ és l'energia total per unitat de volum ($e$ és l'energia interna per unitat de massa per al decorregut), $p$ és la pressió, $u$ la velocitat del decorregut i $\rho$ la densitat del decorregut.

La segona equació inclou la divergència d'un tensor diàdic i pot quedar més clara d'acort a la següent notació:

Note's que les equacions anteriors estan expressades en forma de conservació o equilibri, ya que en esta forma s'emfatisa el seu orige físic (i és ademés en gran medida la més convenient per a la simulació computacional de la dinàmica de decorreguts). El component del moment de les equacions de Euler s'expressa del següent modo:

$\rho (\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$

encara que esta forma oculta la conexió directa existent entre les equacions de Euler i la segona llei de Newton (en particular, no és clarament intuïtiu per qué esta equació és correcta i $(\partial /\partial t+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })(\rho 𝐮)+\mathrm{\nabla }p=0$ no ho és). En format vectorial les equacions de Euler queden expressades del següent modo:

$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z}=0$

a on

$U=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ E\end{array}\right)F=\left(\begin{array}{c}\rho u\\ p+\rho u^2\\ \rho uv\\ \rho uw\\ u(E+p)\end{array}\right)G=\left(\begin{array}{c}\rho v\\ \rho uv\\ p+\rho v^2\\ \rho vw\\ v(E+p)\end{array}\right)H=\left(\begin{array}{c}\rho w\\ \rho uw\\ \rho vw\\ p+\rho w^2\\ w(E+p)\end{array}\right).$

Esta forma deixa més clar que $F,G,H$ són cabals.

Les equacions anteriors representen per tant la conservació de la massa, els tres components del moment i l'energia. Hi ha per tant cinc equacions i sis incògnites $(\rho ,u,v,w,E,p)$. Per a tancar el sistema es necessita una equació d'estat; l'equació d'estat més comunament utilisada és la llei dels gasos ideals ( p.i. $p=\rho (\gamma -1)e$ ).

Una característica molt important de les Equacions de Euler és que degut a que procedixen d'una reducció de les Equacions de Navier-Stokes despreciant els térmens provinents dels térmens disipativos com hem dit al principi, estem eliminant en les equacions els térmens en derivades parcials de major grau: $\mathrm{\nabla }\bar{\tau }$ en l'Equació de la Cantitat de moviment aixina com $\mathrm{\nabla }(K\mathrm{\nabla }T)$ i ${\tau }^{\prime }:\mathrm{\nabla }v$ de l'Equació de l'Energia, estes equacions no podran complir en totes les condicions de contorn naturals. En particular no complixen en la condició de no esmonyida en les superfícies de contacte en sòlits o la condició de continuïtat de la temperatura, estes discontinuïtats carixen d'importància per a moltes aplicacions pero no per a unes atres lo que comporta a tractar en eixes discontinuïtats en atres equacions que finalment comportarien a temes molt profusos dins d'esta disciplina com és la Teoria de la Capa Llímit. Per últim cal dir que en fluix supersònics es produïxen atres discontinuïtats en estes equacions com són les Ones de Choc o les Ones de Mach.

Note's la desigual forma per a l'equació de l'energia; vore l'equació de Rankine-Hugoniot. Els térmens adicionals que contenen l'expressió p (pressió) poden ser interpretats com el treball mecànic realisat pel decorregut en un element de decorregut pels elements decorreguts pròxims que es mouen entorn. Estos térmens sumen zero en un decorregut incompresible.

La més coneguda equació de Bernoulli pot ser obtinguda integrant l'equació de Euler a través d'una llínea de corrent (llínees a les que la velocitat del decorregut és tangente en cada punt) assumint que la densitat és constant i en una equació d'estat adequada.

Mecànica relativista

La generalisació al cas relativiste de les equacions de Euler partix de la llei de conservació del tensor energia-impulse. Usant el conveni de sumación d'Einstein dita llei de conservació ve donada per:

A on:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }$, és la derivada covariant.

$T^{\mu \nu }$, és el tensor dos voltes contravariante d'energia-impulse del decorregut.

En el cas d'un decorregut sensible al camp electromagnètic llavors el segon membre de l'anterior equació. Per al cas convencional d'un decorregut perfecte que no és influït pel camp electromagnètic el tensor d'energia-impulse ve dau per:

A on:

$\rho$, és la densitat másica del decorregut en cada punt.

$p$, és la pressió hidrostàtica en cada punt.

$u^{\alpha }$, són les components de la cuadrivelocidad.

$c$, és la velocitat de la llum.

$g_{\mu \nu }$, és el tensor mètric que descriu la geometria del espai-temps.

Si particularizamos les dos equacions anteriors al cas d'un decorregut movent-se en l'espai-temps pla, com en la teoria de la relativitat especial, les equacions anteriors poden escriure's més explícitament. La component temporal $\nu =0$ de (*) es reduïx a una equació de continuïtat:

Vore també

• Hidrodinàmica

Referències

Bibliografia

• Carter, Brandon (1987). «1. Covariant theory of conductivity in ideal fluïu or solid mija», A. Anile, Y. Choquet-Bruhat (ed.). Relativistic Fluïu Dynamics, Springer-Verlag, pp. 20. ISBN 0-387-51466-X.