Cuadrivelocidad

La cuadrivelocidad és una magnitut vectorial associada al moviment d'una partícula, usada en el context de la teoria de la relativitat, que és tangente a la trayectòria de dita partícula a través del espai-temps cuatridimiensional que generalisa el concepte de velocitat de la mecànica newtoniana.

Relació entre velocitat i cuadrivelocidad

Relativitat especial

De la mateixa manera que la velocitat $𝐯$ en mecànica newtoniana és la derivada temporal de la posició respecte al temps, en la teoria de la relativitat la cuadrivelocidad $𝐕$ és la derivada temporal de les coordenades de posició respecte al temps propi de la partícula:

Donada la relació entre el temps coordenado i el temps propi el cuadrivector velocitat ve dau per:

A on $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ és la velocitat newtoniana convencional i $\gamma$ és el factor de Lorentz. És important notar que el "mòdul" de dita velocitat, és constant degut a que:

Relativitat general

En relativitat les coses són prou més complicades, particularment si l'espai-temps no és estacionario. Ya que la relació entre la velocitat coordenada i la velocitat física d'una partícula és funcionalment complicada. Si ben el "mòdul" la cuadrivelocidad és igual a la constant c, la velocitat coordenada numèricament pot superar a la velocitat de la llum (açò pansa perque la velocitat coordenada, per eixemple, no és un tensor). La cuadrivelocidad o velocitat física pot definir-se com la derivada respecte al temps propi:

a on el temps propi dependrà del camí L seguit per la partícula:

Si l'espai temps és estacionario llavors existix un sistema de coordenades a on el tensor mètric complixca que $g_{0\alpha }=0$ i a on $g_{00}$ no depenga de la coordenada temporal, i en eixe cas pot triar-se una foliación que definix un temps universal. I l'integral anterior és més senzilla d'evaluar.

En el cas general, la cuadrivelocidad es definix com:

A on $⟨𝐯,𝐯⟩={\kappa }_{ab}{v}^a{v}^b$ sent $v^a$ les components de la velocitat coordenada, $a,b\in \{1,2,3\}$ i ${\kappa }_{ab}=g_{ab}-(g_{0a}{g}_{0b}/g_{00})$.

Relacions en atres magnituts

Análogamente a lo que succeïx en mecànica newtoniana, a on la cantitat de moviment i la velocitat són dos vectores proporcionals, en mecànica relativista els seus anàlecs el cuadrimomento i la cuadrivelocidad són dos vectores que diferixen només en una constant de proporcionalitat, que s'identifica en la massa en repòs:

$𝐏=m𝐕=(\frac{E}{c};p_x,p_y,p_z)=(\frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};\frac{m𝐯}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$

Vore també

• Cuadrivector
• Cuadrimomento
• Cuadriaceleración
• Anex:Glossari de relativitat