Espai-temps estacionario

En relativitat general, específicament en les equacions de camp d'Einstein, es diu que un espai-temps és estacionario si admet un vector de Killing que és asintóticamente temporal.

Descripció i anàlisis

En un espai-temps estacionario, les components del tensor mètric, $g_{\mu \nu }$, poden elegir-se de manera que totes siguen independents de la coordenada temporal. l'element de llínea d'un espai-temps estacionario té la forma $(i,j=1,2,3)$

a on $t$ és la coordenada temporal, $y^i$ són les tres coordenades espacials i $h_{ij}$ és el tensor mètric de l'espai tridimensional. En este sistema de coordenades el camp vectorial de Killing ${\xi }^{\mu }$ té les components ${\xi }^{\mu }=(1,0,0,0)$. Ací $\lambda$ és un escalar positiu que representa la norma del vector de Killing, és dir, $\lambda =g_{mu\nu }{\xi }^{\mu }{\xi }^{\nu }$, i ${\omega }_i$ és un vector de tres components, cridat vector de torsió, que desapareix quan el vector de Killing és hipersuperficialment ortogonal. Este últim sorgix com les components espacials del cuadrivector de torsió ${\omega }_{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }{\xi }^{\nu }{\mathrm{\nabla }}^{\rho }{\xi }^{\sigma }$(vore, per eixemple, p. 163) que és ortogonal al vector de Killing ${\xi }^{\mu }$, és dir, satisfà ${\omega }_{\mu }{\xi }^{\mu }=0$. El vector de torsió medix el grau en que el vector de Killing no és ortogonal a una família de hipersuperficies tridimensionals. Una torsió distinta de zero indica la presència de rotació en la geometria de l'espai-temps.

La representació de coordenades descrita anteriorment té una interessant interpretació geomètrica. El vector de translació del temps El vector de Killing genera un grup uniparamétrico de moviment $𝒢$ en el espaciotiempo $ℳ$. Identificant els punts de l'espai-temps que es troben en una trayectòria particular (també cridada òrbita) s'obté un espai tridimensional (el colector de trayectòries de Killing) $𝒱=ℳ/𝒢$, l'espai cocient. Cada punt de $𝒱$ representa una trayectòria en l'espai-temps $ℳ$. Esta identificació, cridada proyecció canònica, $\pi :M\to V$ és una aplicació que envia cada trayectòria dins de $ℳ$ a un punt en $𝒱$ i induïx una mètrica $h=-\lambda \pi *g$ en $𝒱$ via pullback. Les cantitats $\lambda$, ${\omega }_i$ i $h_{ij}$ són tots camps en $𝒱$ i, en conseqüència, són independents del temps. Aixina, la geometria d'un espai-temps estacionario no canvia en el temps. En el cas especial ${\omega }_i=0$ es diu que l'espai-temps és estàtic. Per definició, tot espai-temps estàtic és estacionario, pero ho contrarie no és generalment cert, ya que la mètrica de Kerr proporciona un contraeixemple.

Us com a punt de partida per a les equacions de camp del buit

En un espai-temps estacionario que satisfà les equacions d'Einstein en el buit $R_{\mu \nu }=0$ anara de les fonts, el cuadrivector de torsió ${\omega }_{\mu }$ satisfà la condició:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\omega }_{\mu }=0,$

i, per tant, coincidix localment en el gradient d'un escalar $\omega$ (cridat escalar de torsió):

${\omega }_{\mu }={\mathrm{\nabla }}_{\mu }\omega$

En lloc dels escalares $\lambda$ i $\omega$ és més convenient utilisar els dos potencials de Hansen, els potencials de massa i moment angular, ${\Phi }_M$ i ${\Phi }_J$, definits com

${\Phi }_M=\frac{1}{4}{\lambda }^{-1}({\lambda }^2+{\omega }^2-1),$

${\Phi }_J=\frac{1}{2}{\lambda }^{-1}\omega .$

En relativitat general el potencial de massa ${\Phi }_M$ eixercita el paper del potencial gravitatorio newtoniano. Un potencial de moment angular no trivial ${\Phi }_J$ sorgix per a les fonts en rotació per l'energia cinètica rotacional que, per l'equivalència massa-energia, també pot actuar com a font d'un camp gravitatorio. La situació és anàloga a la d'un camp electromagnètic estàtic en el que es tenen dos conjunts de potencials, elèctric i magnètic. En relativitat general, les fonts giratòries produïxen un camp gravitomagnético que no té un anàlec newtoniano.

Una mètrica de buit estacionaria és, per tant, expressable en térmens dels potencials de Hansen ${\Phi }_A$ ($A\in \{M,J\}$) i de la mètrica tridimensional $h_{ij}$. En térmens d'estes cantitats, les equacions del camp de buit d'Einstein poden posar-se en la forma

$(h^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j-2R^{(3)}){\Phi }_A=0,$

$R_{ij}^{(3)}=2[{\mathrm{\nabla }}_i{\Phi }_A{\mathrm{\nabla }}_j{\Phi }_A-(1+4{\Phi }^2{)}^{-1}{\mathrm{\nabla }}_i{\Phi }^2{\mathrm{\nabla }}_j{\Phi }^2],$

a on ${\Phi }^2={\Phi }_A{\Phi }_A=({\Phi }_M^2+{\Phi }_J^2)$, i $R_{ij}^{(3)}$ és el tensor de Ricci de la mètrica espacial i $R^{(3)}=h^{ij}{R}_{ij}^{(3)}$ l'escalar de Ricci corresponent. Estes equacions constituïxen el punt de partida per a investigar les mètriques estacionarias exactes del buit.