Element de llínea

Element de llínea vectorial dr (verda) en l'espai euclídeo 3d, a on λ és un paràmetro de la curva espacial (vert clar)

En geometria, un element de llínea o element de llongitut es pot considerar informalment com un segment de llínea associat en un desplaçament infinitesimal en un espai mètric. La llongitut de l'element de llínea, que pot considerar-se com una llongitut d'arc diferencial, és una funció del tensor mètric i es denota per $ds$.

Els elements de llínea s'utilisen en física, especialment en les teories vinculades a la gravetat (especialment, en la relativitat general) en les que l'espai-temps es modela com una varietat pseudoriemanniana curva en un tensor mètric apropiat.

Formulació general

Definició d'element llineal i de llongitut d'arc

La definició independent del sistema de coordenades del quadrat de l'element llineal ds en una varietat pseudoriemanniana o riemaniana n-dimensióal (en física, generalment una varietat lorentziana) és el "quadrat de la llongitut" d'un desplaçament infinitesimal $d𝐪$ (en varietats pseudo riemannianas pot ser negatiu) la raïl quadrada del qual deu usar-se per a calcular la llongitut de la curva:

$d{s}^2=d𝐪\cdot d𝐪=g(d𝐪,d𝐪)$

a on g és el tensor mètric, · denota un espai prehilbertiano i dq un desplaçament infinitesimal en la varietat (pseudo) riemanniana. Al parametrizar una curva $q(\lambda )$, es pot definir la llongitut d'arc del desenroll de la curva entre $q({\lambda }_1)$ i $q({\lambda }_2)$ com l'integral:.

$s=\underset{{\lambda }_1}{\overset{{\lambda }_2}{\int }}d\lambda \sqrt{\left|d{s}^2\right|}=\underset{{\lambda }_1}{\overset{{\lambda }_2}{\int }}d\lambda \sqrt{\left|g(\frac{dq}{d\lambda },\frac{dq}{d\lambda })\right|}=\underset{{\lambda }_1}{\overset{{\lambda }_2}{\int }}d\lambda \sqrt{\left|g_{ij}\frac{d{q}^i}{d\lambda }\frac{d{q}^j}{d\lambda }\right|}$

Per a calcular una llongitut sensible de curves en varietats pseudo riemannianas, és millor supondre que els desplaçaments infinitesimals tenen el mateix signe en tots els llocs. Per eixemple, en física, el quadrat d'un element llineal en una curva de llínea de temps seria (segons la convenció de signes $-+++$) negatiu i la raïl quadrada negativa del quadrat de l'element llineal en la curva mediria el temps propi que transcorre per a un observador que es mou sobre la curva. Des d'este punt de vista, la mètrica també definix, ademés de l'element de llínea, l'element de superfície i l'element de volum.

Identificació del quadrat de l'element llineal en el tensor mètric

Ya que $d𝐪$ és un "quadrat de la llongitut de l'arc" arbitrari, $d{s}^2$ definix completament la mètrica i, per lo tant, sol ser millor considerar l'expressió de $d{s}^2$ com una definició del tensor mètric en sí, escrit en una notació sugerent pero no tensorial:

$d{s}^2=g$

Esta identificació del quadrat de la llongitut de l'arc $d{s}^2$ en la mètrica és encara més fàcil de vore en coordenades curvilíneas q= (q¹, q², q³, ..., qⁿ) per lo general de n dimensions, a on s'escriu com un tensor simètric de ranc 2 que coincidix en el tensor mètric:

$d{s}^2=g_{ij}d{q}^{i}d{q}^j=g.$

Ací, els índexs i i j prenen els valors 1, 2, 3, ..., n i s'utilisa el conveni de suma d'Einstein. Eixemples comuns d'espais (pseudo) riemannianos inclouen l'espai físic tridimensional (sense l'inclusió de coordenades de temps) i, de fet, l'espai-temps de quatre dimensions.

Elements llineals en l'espai euclidiano

Artícul principal → Espai euclídeo.

A continuació es mostren eixemples de cóm es determinen els elements de llínea a partir de la mètrica.

Coordenades cartesianas

L'element de llínea més simple s'expressa en coordenades cartesianas, en el cas de les quals la mètrica és solament la delta de Kronecker:

$g_{ij}={\delta }_{ij}$

(ací i, j = 1, 2, 3 per a l'espai) o en forma matricial (i denota fila, j denota columna):

$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Les coordenades curvilíneas generals es reduïxen a coordenades cartesianas:

$(q^1,q^2,q^3)=(x,y,z)\Rightarrow d𝐫=(dx,dy,dz)$

i llavors

$d{s}^2=g_{ij}d{q}^{i}d{q}^j=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$

Coordenades curvilíneas ortogonals

Per a totes les coordenades ortogonals, la mètrica ve donada per:

$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}{h}_1^2& 0& 0\\ 0& h_2^2& 0\\ 0& 0& h_3^2\end{array}\right)$

a on

$h_i=\left|\frac{\partial 𝐫}{\partial q^i}\right|$

per a i = 1, 2, 3 són factors d'escala, per lo que el quadrat de l'element de llínea és:

$d{s}^2=h_1^2(d{q}^1{)}^2+h_2^2(d{q}^2{)}^2+h_3^2(d{q}^3{)}^2$

A continuació es mostren alguns eixemples d'elements de llínea en estes coordenades:

Sistema de coordenades	(q1, q2, q3)	Mètrica	Element de llínea
Cartesianas	(x, i, z)	$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$
Polars planes	(r, θ)	$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right)$	$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$
Esfèriques	(r, θ, φ)	$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$	$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d\theta {}^2+r^2{\sin }^2\theta d\varphi {}^2$
Cilíndriques polars	(r, θ, z)	$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$	$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d\theta {}^2+d{z}^2$

Vore també

• Covarianza i contravarianza
• Primera forma fonamental
• Anex:Temes d'integració i teoria de la mida
• Tensor mètric
• Càlcul de Ricci
• Llei de pujar o baixar índexs (tensors)
• Curva integral d'un camp vectorial