Element de volum

En matemàtiques, un element de volum proporciona un mig para integrar el valor del volum associat a una funció, que les seues característiques geomètriques solen determinar el sistema de coordenada més adequat en el que definir-ho (habitualment, coordenades cartesianas, esfèriques o cilíndriques). Aixina, un element de volum és una expressió de la forma

$\mathrm{d}V=\rho (u_1,u_2,u_3)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3$

a on $u_i$ són les coordenades, de modo que el volum de qualsevol conjunt $B$ es pot calcular per mig de l'expressió

$\mathrm{Volumen}(B)=\underset{B}{\int }\rho (u_1,u_2,u_3)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3.$

Per eixemple, en coordenades esfèriques $\mathrm{d}V=u_1^2\sin u_2\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3$, i per lo tant, $\rho =u_1^2\sin u_2$.

La noció d'element de volum no es llimita a tres dimensions: en dos dimensions a sovint se li coneix com a element d'àrea, i en este context és útil per a calcular integrals de superfície. Baix canvis de coordenades, l'element de volum canvia pel valor absolut del determinant jacobiano de la transformació de coordenades (per mig de les fòrmules de canvi de variables). Este fet permet definir elements de volum com una espècie de mida sobre un varietat. En una varietat diferenciable orientable, un element de volum normalment sorgix d'una forma de volum: una forma diferencial de grau superior. En una varietat no orientable, l'element de volum sol ser el valor absolut d'una forma de volum (definida localment) i que establix una 1-densitat.

Element de volum en l'espai euclídeo

En l'espai euclídeo, l'element de volum ve dau pel producte dels diferencials de les coordenades cartesianas

$\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$

En diferents sistemes de coordenades de la forma $x=x(u_1,u_2,u_3)$, $y=y(u_1,u_2,u_3)$, $z=z(u_1,u_2,u_3)$, l'expressió de l'element de volum es modifica segons el determinant jacobiano del canvi de coordenades:

$\mathrm{d}V=\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u_1,u_2,u_3)}\right|\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\mathrm{d}{u}_3.$

Per eixemple, en coordenades esfèriques (convenció matemàtica)

$\begin{array}{cc}x& =\rho \cos \theta \sin \varphi \\ y& =\rho \sin \theta \sin \varphi \\ z& =\rho \cos \varphi \end{array}$

el determinant jacobiano és

$\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}\right|={\rho }^2\sin \varphi$

de modo que

$\mathrm{d}V={\rho }^2\sin \varphi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .$

Açò pot vore's com un cas especial del fet de que les formes diferencials es transformen per mig d'una relació inversa $F^{*}$ com

$F^{*}(ud{y}^1\wedge \cdots \wedge d{y}^n)=(u\circ F)\det \left(\frac{\partial F^j}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n$

Element de volum d'un subespacio llineal

Considere's el subespacio vectorial del espai euclídeo 'Rⁿ de n dimensions que està comprés per una colecció de vectores linealment independents.

$X_1,\dots ,X_k.$

Per a trobar l'element de volum del subespacio, és útil saber a partir de l'àlgebra llineal que el volum del paralelepípede comprés per $X_i$ és la raïl quadrada del determinant de la matriu de Gram de $X_i$:

$\sqrt{\det (X_i\cdot X_j{)}_{i,j=1\dots k}}.$

A qualsevol punt p en el subespacio se li poden donar coordenades $(u_1,u_2,\dots ,u_k)$ tals que

$p=u_1{X}_1+\cdots +u_k{X}_k.$

En un punt p, si es forma un chicotet paralelepípede de costats $\mathrm{d}{u}_i$, llavors el volum d'eixe paralelepípede és la raïl quadrada del determinant de la matriu grammiana

$\sqrt{\det {((d{u}_i{X}_i)\cdot (d{u}_j{X}_j))}_{i,j=1\dots k}}=\sqrt{\det (X_i\cdot X_j{)}_{i,j=1\dots k}}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\cdots \mathrm{d}{u}_k.$

Per lo tant, açò definix la forma del volum en el subespacio llineal.

Element de volum en varietats

Vore també: Forma de volum riemanniana

En una varietat de Riemann orientada de dimensió n, l'element de volum és una forma de volum igual al dual de Hodge de la funció constant unitària, $f(x)=1$:

$\omega =\star 1.$

De manera equivalent, l'element de volum és precisament el símbol de Levi-Civita $ϵ$. En coordenades,

$\omega =ϵ=\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n$

a on $\det g$ és el determinant del tensor mètric g escrit en el sistema de coordenades.

Element d'àrea d'una superfície

Es pot explorar un eixemple simple d'un element de volum considerant una superfície bidimensional inclosa en l'espai euclídeo n-dimensional. Este element de volum a voltes es denomina element d'àrea. Considere's un subconjunt $U\subset {ℝ}^2$ i una funció d'aplicació

$\phi :U\to {ℝ}^n$

definint aixina una superfície inclosa en ${ℝ}^n$. En dos dimensions, el volum és solament àrea i un element de volum proporciona una forma de determinar l'àrea de parts de la superfície. Aixina, un element de volum és una expressió de la forma

$f(u_1,u_2)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2$

que permet calcular l'àrea d'un conjunt B que es troba en la superfície calculant l'integral

$\mathrm{Area}(B)=\underset{B}{\int }f(u_1,u_2)\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2.$

Ací es troba l'element de volum en la superfície que definix l'àrea en el sentit habitual. El determinant jacobiano de l'aplicació és

${\lambda }_{ij}=\frac{\partial {\phi }_i}{\partial u_j}$

en l'índex i que va d'1 a n, i j que va d'1 a 2. La mètrica euclídea en l'espai n-dimensional induïx una mètrica $g={\lambda }^T\lambda$ en el conjunt O, en els elements de la matriu

$g_{ij}=\sum _{k=1}^n{\lambda }_{ki}{\lambda }_{kj}=\sum _{k=1}^n\frac{\partial {\phi }_k}{\partial u_i}\frac{\partial {\phi }_k}{\partial u_j}.$

El determinant de la mètrica ve dau per

$\det g={|\frac{\partial \phi }{\partial u_1}\wedge \frac{\partial \phi }{\partial u_2}|}^2=\det ({\lambda }^T\lambda )$

Per a una superfície regular, este determinant no s'anula, i de manera equivalent, la matriu jacobiana té ranc 2.

Considere's ara un canvi de coordenades en O, donat per un difeomorfismo

$f:U\to U,$

de modo que les coordenades $(u_1,u_2)$ estiguen donades en térmens de $(v_1,v_2)$ per $(u_1,u_2)=f(v_1,v_2)$. La matriu jacobiana d'esta transformació ve donada per

$F_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial v_j}.$

En les noves coordenades, es té que

$\frac{\partial {\phi }_i}{\partial v_j}=\sum _{k=1}^2\frac{\partial {\phi }_i}{\partial u_k}\frac{\partial f_k}{\partial v_j}$

i llavors la mètrica es transforma com

$\tilde{g}=F^{T}gF$

a on $\tilde{g}$ és la mètrica de l'inversió en el sistema de coordenades v. El determinant és

$\det \tilde{g}=\det g{(\det F)}^2.$

Donada la construcció anterior, ara deuria ser senzill comprendre cóm l'element de volum és invariante davant un canvi de coordenades que preserva l'orientació.

En dos dimensions, el volum és solament l'àrea. L'àrea d'un subconjunt $B\subset U$ ve donada per l'integral

$\begin{array}{cc}\text{Area}(B)& =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det g}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2\\ & =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det g}|\det F|\mathrm{d}{v}_1\mathrm{d}{v}_2\\ & =\underset{B}{\iint }\sqrt{\det \tilde{g}}\mathrm{d}{v}_1\mathrm{d}{v}_2.\end{array}$

Per lo tant, en qualsevol sistema de coordenades, l'element de volum pren la mateixa expressió: l'expressió de l'element de volum és invariante davant un canvi de coordenades.

Tinga's en conte que no hi havia cap casuística particular sobre dos dimensions en la presentació anterior, lo que permet assegurar que es pot generalisar trivialment a dimensions arbitràries.

Eixemple: esfera

Per eixemple, considere's l'esfera en ràdio r centrada en l'orige en R³. Açò es pot parametrizar usant coordenades esfèriques en l'aplicació

$\varphi (u_1,u_2)=(r\cos u_1\sin u_2,r\sin u_1\sin u_2,r\cos u_2).$

Llavors

$g=\left(\begin{array}{cc}{r}^2{\sin }^2{u}_2& 0\\ 0& r^2\end{array}\right),$

i l'element d'àrea és

$\omega =\sqrt{\det g}\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2=r^2\sin u_2\mathrm{d}{u}_1\mathrm{d}{u}_2.$

Vore també

• Coordenades cilíndriques
• Integral de superfície
• Integral de volum

Bibliografia

• (1987).«Einstein manifolds».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:

xii+510.