Espai vectorial convenient

Un espai vectorial convenient és un tipo d'espai vectorial localment convexo que ademés és $c^{\mathrm{\infty }}$-complet. Una propietat important és que en dits espais vectorials pot definir-se el concepte d'integral (antiderviada) d'una funció de variable real que pren valors en un espai vectorial convenient.

Definició

La propietat clau és la de $c^{\mathrm{\infty }}$-completitud. Un espai $E$ té esta propietat si es complix alguna de les tres propietats següents:

1. Qualsevol successió de Mackey-Cauchy convergix (una seqüència és de Mackey-Cauchy si convergix en el sentit de Mackey cap a 0, és dir, és Mackey-convergent cap a 0. Una successió $(x_n)$ convergix a x en el sentit de Mackey si existix una successió $({\lambda }_n):0<{\lambda }_n\to \mathrm{\infty }$ tal que $({\lambda }_n(x_n-x))$ és acotada).
2. Si $B\subset E$ és un conjunt tancat, acotat i absolutament convexo, llavors l'espai llineal generat per $E_B=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(B)\subset E$ és un espai de Banach.
3. Qualsevol curva lipshitziana en $E$ és localment integrable en el sentit de Riemann.
4. Per a qualsevol $c_1\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,E)$ existix un $c_2\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ,E)$ tal que $c_1=c{\text{'}}_2$ (existència d'antiderivada).

Referències

Bibliografia

• A. Kriegl i P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.