Biholomorfismo

Ilustració d'un biholomorfismo. La funció exponencial complexa que transforma biholomórficamente un rectàngul en un quarto d'anular.

En la teoria matemàtica de funcions d'una o més variables complexes, i també en la geometria algebraica complexa, un biholomorfismo o funció biholomorfa és una funció holomorfa biyectiva que la seua inversa també és holomorfa .

Definició formal

Formalment, una funció biholomorfa és una funció $\varphi$ definit en un subconjunt obert $U$ de $n$ nort-l'espai complex dimensional ${ℂ}^n$en valors en ${ℂ}^n$ que és holomorfo i un a un , de modo que la seua image és un conjunt obert $V$ en ${ℂ}^n$ i l'invers ${\varphi }^{-1}:V\to U$ També és holomorfa. De manera més general, O i V poden ser varietats complexes . Com en el cas de les funcions d'una sola variable complexa, una condició suficient per a que un mapa holomórfico siga biholomórfico en la seua image és que el mapa és inyectivo, en el cas del qual l'invers també és holomórfico (per eixemple, vore Gunning 1990, Teorema I. 11).

Si existix un biholomorfismo $\varphi :U\to V$, diem que $U$ i $V$ són biholomórficamente equivalents o que són biholomórficos.

Teorema de mapage de Riemann i generalisacions

Si $n=1,$ cada conjunt obert simplement conectat que no siga tot el pla complex és biholomorfo al disc unitat (est és el teorema de mapage de Riemann). La situació és molt diferent en dimensions més altes. Per eixemple, les boles unitàries obertes i els polidiscos unitaris oberts no són biholomorfamente equivalents per a $n>1.$. De fet, no existix ni tan sols una funció holomorfa adequada d'un a un atre.

Bibliografia

• John B. Conway (1978). Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag. ISBN 3-540-90328-3.
• John P. D'Angelo (1993). Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces, CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6.
• Eberhard Freitag and Rolf Busam (2009). Complex Analysis, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-93982-5.
• Robert C. Gunning (1990). Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Vol. II, Wadsworth. ISBN 0-534-13309-6.
• Steven G. Krantz (2002). Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2724-3.