Varietat proyectiva

Archiu:Addition on cubic (clean version).svg

Una curva elíptica és una curva proyectiva suau de gènero un

En geometria algebraica, una varietat proyectiva sobre un cos algebraicamente tancat k és un subconjunt d'algun n-espai proyectivo ${\mathbb{P}}^n$ sobre k que és el lloc dels zeros d'alguna família finita de polinomis homogéneus de n + 1 variables en coeficients en k, que generen un ideal primer, l'ideal definitorio de la varietat. De manera equivalent, una varietat algebraica és proyectiva si es pot incrustar com una subvariedad tancada de Zariski de ${\mathbb{P}}^n$.

Una varietat proyectiva és una curva proyectiva si la seua dimensió és un; és una superfície proyectiva si la seua dimensió és dos; és una hipersuperficie proyectiva si la seua dimensió és un menys que la dimensió de l'espai proyectivo que la conté. En este cas, és el conjunt de zeros d'un únic polinomi homogéneu.

Si X és una varietat proyectiva definida per un ideal cosí homogéneu I, llavors l'anelle cocient

$k[x_0,\dots ,x_n]/I$

es diu anell coordenado homogéneu de X. Els invariantes bàsics de X, com el grau i la dimensió, es poden llegir en el polinomi de Hilbert d'este àlgebra graduada.

Les varietats proyectivas sorgixen de moltes maneres. Són completes, lo que es pot expressar aproximadament dient que no falten punts. Ho contrarie no és cert en general, pero el lema de Chow descriu l'estreta relació entre estes dos nocions. Per a demostrar que una varietat és proyectiva s'estudien els paquets de rectes o els divisores en X.

Una característica destacada de les varietats proyectivas són les llimitacions de finitud de la cohomología del fes. Per a varietats proyectivas suaus, la dualitat de Serre pot vore's com un anàlec de la dualitat de Poincaré. També conduïx al teorema de Riemann-Roch per a curves proyectivas, és dir, varietats proyectivas de dimensió 1. La teoria de les curves proyectivas és particularment rica i inclou una classificació segons el gènero de la curva. El programa de classificació per a varietats proyectivas de dimensions superiors conduïx naturalment a la construcció de mòduls de varietats proyectivas. Els esquemes de Hilbert parametrizan subesquemas tancats de ${\mathbb{P}}^n$ en el polinomi de Hilbert prescrit. Els esquemes de Hilbert, dels quals els grasmanianos són casos especials, també són esquemes proyectivos per dret propi. La teoria invariante geomètrica oferix un atre enfocament. Els enfocaments clàssics inclouen l'espai de Teichmüller i les varietats de Chow.

Es dispon d'una teoria particularment rica, que es remonta als clàssics, per a varietats proyectivas complexes, és dir, quan els polinomis que definixen X tenen coeficients complexos. En térmens generals, el principi GAGA diu que la geometria dels espais (o varietats) analítics complexos proyectivos és equivalent a la geometria de les varietats complexes proyectivas. Per eixemple, la teoria de fas de vectores holomorfos (més generalment fas analítics coherents) sobre X coincidix en la dels paquets de vectores algebraics. El teorema de Chow diu que un subconjunt de l'espai proyectivo és el lloc dels zeros d'una família de funcions holomorfas si i solament si és el lloc dels zeros de polinomis homogéneus. La combinació de métodos analítics i algebraics per a varietats proyectivas complexes conduïx a àrees com la teoria de Hodge.

Varietat i estructura d'esquema

Estructura d'una varietat

Siga k un cos algebraicamente tancat. La base de la definició de varietats proyectivas és l'espai proyectivo ${\mathbb{P}}^n$, que es pot definir de formes diferents pero equivalents:

• Com el conjunt de totes les rectes que passen per l'orige en $k^{n+1}$ (és dir, tots els subespacios vectorials unidimensionals de $k^{n+1}$)
• Com el conjunt de tuplas $(x_0,\dots ,x_n)\in k^{n+1}$, a on $x_0,\dots ,x_n$ no són tots zero, en mòdul la relació d'equivalència :$(x_0,\dots ,x_n)\sim \lambda (x_0,\dots ,x_n)$ per a qualsevol $\lambda \in k\setminus \{0\}$. La classe d'equivalència de dita tupla es denota per: $[x_0:\dots :x_n].$. Esta classe d'equivalència és el punt general de l'espai proyectivo. Els números $x_0,\dots ,x_n$ es denominen coordenades homogénees del punt.

Una varietat proyectiva és, per definició, una subvariedad tancada de ${\mathbb{P}}^n$, a on tancat es referix a la topología de Zariski. En general, els subconjunts tancats de la topología de Zariski es definixen com el lloc zero comú d'una colecció finita de funcions polinomiales homogénees. Donat un polinomi $f\in k[x_0,\dots ,x_n]$, la condició

$f([x_0:\dots :x_n])=0$

no té sentit per a polinomis arbitraris, pero solament si f és homogéneu, és dir, els graus de tots els monomis (que la seua suma és f) són els mateixos. En este cas, l'anulació de

$f(\lambda x_0,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^{\mathrm{deg}f}f(x_0,\dots ,x_n)$

és independent de l'elecció de $\lambda \ne 0$.

Per lo tant, les varietats proyectivas sorgixen d'ideals cosins homogéneus I de $k[x_0,\dots ,x_n]$, i fent que

$X=\{[x_0:\dots :x_n]\in {\mathbb{P}}^n,f([x_0:\dots :x_n])=0\text{for all }f\in I\}.$

Ademés, la varietat proyectiva X és una varietat algebraica, lo que significa que està coberta per subvariedades afins obertes i satisfà l'axioma de separació. Aixina, l'estudi local de X (per eixemple, una singularitat) es reduïx al d'una varietat afí. L'estructura explícita és la següent: l'espai proyectivo ${\mathbb{P}}^n$ està cobert pels mapes afins oberts estàndart

$U_i=\{[x_0:\dots :x_n],x_i\ne 0\},$

que a la seua volta són n-espais afins en l'anell de coordenades

$k[y_1^{(i)},\dots ,y_n^{(i)}],y_j^{(i)}=x_j/x_i.$

Ara, es fa que i = 0 per a simplificar la notació i s'elimina el superíndex (0). Llavors, $X\cap U_0$ és una subvariedad tancada de $U_0\simeq {𝔸}^n$ definida per l'ideal de $k[y_1,\dots ,y_n]$ generat per

$f(1,y_1,\dots ,y_n)$

per a tota f en I. Per lo tant, X és una varietat algebraica coberta per (n+1) mapes afins oberts $X\cap U_i$.

Tinga's en conte que X és el tancament de la varietat afí $X\cap U_0$ en ${\mathbb{P}}^n$. Pel contrari, a partir d'alguna varietat tancada (afí) $V\subset U_0\simeq {𝔸}^n$, la clausura de V en ${\mathbb{P}}^n$ és la varietat proyectiva cridada Plantilla:Anchor de V. Si $I\subset k[y_1,\dots ,y_n]$ definix V, llavors l'ideal definitorio d'este tancament és l'ideal homogéneu de $k[x_0,\dots ,x_n]$ generat per

$x_0^{\mathrm{deg}(f)}f(x_1/x_0,\dots ,x_n/x_0)$

per a tota f en I.

Per eixemple, si V és una curva afí donada, per eixemple, per $y^2=x^3+ax+b$ en el pla afí, llavors el seu completamiento proyectivo en el pla proyectivo ve dau per $y^{2}z=x^3+ax{z}^2+b{z}^3.$

Esquemes proyectivos

Per a diverses aplicacions, és necessari considerar objectes álgebro-geomètrics més generals que les varietats proyectivas, és dir, esquemes proyectivos. El primer pas cap als esquemes proyectivos és dotar a l'espai proyectivo d'una estructura d'esquema, refinant d'alguna manera la descripció anterior de l'espai proyectivo com una varietat algebraica, és dir, ${\mathbb{P}}^n(k)$ és un esquema que és una unió de (n + 1) còpies del n-espai afí kⁿ. De manera més general, l'espai proyectivo sobre un anell A és l'unió dels esquemes afins

$U_i=\mathrm{Espec}A[x_0/x_i,\dots ,x_n/x_i],0\le i\le n,$

de tal manera que les variables coincidixquen com s'esperava. El conjunt de punts tancats de ${\mathbb{P}}_k^n$, per a cossos algebraicamente tancats k, és llavors l'espai proyectivo ${\mathbb{P}}^n(k)$ en el sentit habitual.

Una construcció equivalent pero simplificada la proporciona la construcció proy, que és un anàlec del espectre d'un anell, denominat "Espec", que definix l'espectre d'un anell. Per eixemple, si A és un anell, llavors

${\mathbb{P}}_A^n=\mathrm{Proy}A[x_0,\dots ,x_n].$

Si R és un cocient de $k[x_0,\dots ,x_n]$ per un ideal homogéneu I, llavors la sobreyección canònica induïx l'immersió tancada

$\mathrm{Proj}R\hookrightarrow {\mathbb{P}}_k^n.$

En comparació a les varietats proyectivas, es va abandonar la condició de que l'ideal I fora un ideal primer. Açò du a una noció molt més flexible: per un costat, l'espai topològic $X=\mathrm{Proj}R$ pot tindre múltiples components irreducibles. Ademés, pot haver funcions nilpotents en X.

Els subesquemas tancats de ${\mathbb{P}}_k^n$ corresponen biyectivamente als ideals homogéneus I de $k[x_0,\dots ,x_n]$ que són saturats; és dir, $I:(x_0,\dots ,x_n)=I.$ Este fet pot considerar-se com una versió refinada del teorema dels zeros de Hilbert.

Es pot donar una analogia sense coordenades de lo anterior. És dir, donat un espai vectorial de dimensió finita V sobre k, siga

$\mathbb{P}(V)=\mathrm{Proj}k[V]$

a on $k[V]=\mathrm{Sym}(V^{*})$ és l'àlgebra simètrica de $V^{*}$. És la proyectivización de V; és dir, parametriza rectes en V. Existix una aplicació sobreyectiva canònic $\pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb{P}(V)$, que es definix utilisant el quadro descrit anteriorment. Un divisor D en una varietat proyectiva X correspon a un conjunt de llínees rectes L. Llavors, es té que

$|D|=\mathbb{P}(\Gamma (X,L))$;

es diu sistema llineal complet de D.

L'espai proyectivo sobre qualsevol esquema S es pot definir com un producte de fibra d'esquemes

${\mathbb{P}}_S^n={\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n{\times }_{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}S.$

Si $𝒪(1)$ és la construcció Proy de ${\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n$, es considera que $𝒪(1)$ denota la tornada de $𝒪(1)$ a ${\mathbb{P}}_S^n$; és dir, $𝒪(1)=g^{*}(𝒪(1))$ per a l'aplicació canònica $g:{\mathbb{P}}_S^n\to {\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}^n.$

Un esquema X → S es diu proyectivo sobre S si factoriza com una immersió tancada

$X\to {\mathbb{P}}_S^n$

seguit de la proyecció sobre S.

Un fes de rectes (o fes invertible) $ℒ$ en un esquema X sobre S es diu que és molt ampli en relació en S si existix una immersión (és dir, una immersió oberta seguida d'una immersió tancada)

$i:X\to {\mathbb{P}}_S^n$

per a alguns n per a que $𝒪(1)$ retorne a $ℒ$. Llavors, un S-esquema X és proyectivo si i solament si és propi i existix un fes molt ampli en X sobre S. De fet, si X és propi, llavors una immersió corresponent al fes de llínees molt ampli és necessàriament tancada. Pel contrari, si X és proyectivo, llavors la tornada de $𝒪(1)$ baixe l'immersió tancada de X en un espai proyectivo és molt ampli. Que proyectivo implica propi és una relació més profunda, d'acort en el teorema principal de la teoria de l'eliminació.

Relació en les varietats completes

Per definició, una varietat és completa, si és pròpia sobre k. El criteri valorativo de propietat expressa l'intuïció de que en una varietat adequada no "falten" punts.

Existix una estreta relació entre varietats completes i proyectivas: per un costat, l'espai proyectivo i per tant qualsevol varietat proyectiva és completa. Ho contrarie no és cert en general. No obstant:

Una curva suau C és proyectiva si i solament si és completa. Açò es demostra identificant C en el conjunt d'anells de valoració discrets d'un cos de funcions k(C) sobre k. Este conjunt té una topología natural de Zariski cridada espai de Zariski-Riemann.

• El lema de Chow establix que per a qualsevol varietat completa X, existix una varietat proyectiva Z i un morfismo birracional Z → X. Ademés, a través de normalisació, es pot assumir que esta varietat proyectiva és normal.

Algunes propietats d'una varietat proyectiva es deriven de la completitud. Per eixemple,

$\Gamma (X,{𝒪}_X)=k$

per a qualsevol varietat proyectiva X sobre k. Este fet és un anàlec algebraic del teorema de Liouville (qualsevol funció holomorfa en una varietat complexa compacta conexa és constant). De fet, la similitut entre la geometria analítica complexa i la geometria algebraica en varietats proyectivas complexes va molt més allà, com s'explica a continuació.

Les varietats cuasi-proyectivas són, per definició, aquelles que són subvariedades obertes de varietats proyectivas. Esta classe de varietats inclou les varietats afins, que casi mai són completes (o proyectivas). De fet, una subvariedad proyectiva d'una varietat afí deu tindre dimensió zero. Açò es deu a que solament les constants són globalment funcions regulars en una varietat proyectiva.

Vore també

• Geometria algebraica d'espais proyectivos
• Relació d'equivalència adequada
• Esquema de Hilbert
• Teorema del hiperplano de Lefschetz
• Programa model mínim

Bibliografia

• (2000).«The geometry of schemes».
• (1998).«Intersection theory».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:2
• Topics in Algebraic and Analytic Geometry. (MN-13), Volume 13: Notes From a Course of Phillip Griffiths (en en), Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-6926-8.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction, Springer. ISBN 978-3-540-21290-4.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084
• «Book on Moduli of Surfaces».
• (1996).«Rational curves on algebraic varieties».
• (1970).«Abelian Varieties».
• (1995).«Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties».
• (1999).«The Ret Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians».Springer Science+Business Mija.1358doi:10.1007/b62130.

• Algebraic Geometry II (en en).
• Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, 2nd edició, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-54812-8.
• R. Vakil, Fonaments de la geometria algebraica