Teoria de Hodge

En matemàtiques, la teoria de Hodge és una ferramenta útil en l'estudi de les formes diferencials en una varietat diferenciable M. En major precisió, s'utilisa per a l'estudi del grup de cohomología de M, en coeficients reals, per mig de l'us del operador laplaciano associat a una mètrica de Riemann definida en M.

La teoria va ser desenrollada per W. V. D. Hodge en els anys 1930 com una extensió de la cohomología de De Rham, aplicant-se principalment para:

• l'estudi d'una varietat de Riemann
• l'estudi d'una varietat de Kähler
• en geometria algebraica, l'estudi d'una varietat proyectiva complexa o inclús, de forma més general, en un motiu.

En el desenroll original, M se suponia una varietat tancada (és dir, compacta i sense frontera). En els tres punts d'aplicació mencionats, la teoria va ser de gran influència en treballs posteriors, sent continuada, entre uns atres, per Kunihiko Kodaira (en Japó i despuix en Princeton, baixe l'influència parcial d'Hermann Weyl).

Aplicacions i eixemples

Cohomología de De Rham

La formulació original de W. V. D. Hodge, s'aplica al Complex de De Rham. Si M és una varietat compacta i orientable dotada d'una mètrica diferenciable g, i Ω^k(M) és l'espai de les formes diferenciables de grau k en M, llavors el complex de De Rham és la seqüència d'operadors diferencials

$0\to {\Omega }^0(M)\stackrel{d_0}{\to }{\Omega }^1(M)\stackrel{d_1}{\to }\cdots \stackrel{d_{n-1}}{\to }{\Omega }^n(M)\stackrel{d_n}{\to }0$

a on d_k indica la derivada exterior sobre Ω^k(M). La cohomología de De Rham és llavors la seqüència d'espais vectorials definida per

$H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{i}\mathrm{m}{d}_{k-1}}.$

Es pot definir llavors l'adjunt formal de la derivada exterior d, que es denota per δ, de la següent manera. Per a tot α ∈ Ω^k(M) i β ∈ Ω^k+1(M), es deu complir que

$\underset{M}{\int }⟨d\alpha ,\beta {⟩}_{k+1}dV=\underset{M}{\int }⟨\alpha ,\delta \beta {⟩}_{k}dV$

a on $⟨,{⟩}_k$ és la mètrica induïda sobre Ω^k(M). L'operador Laplaciano per a formes es definix llavors per mig de Δ = dδ + δd. Açò permet definir el concepte de forma harmònica i els seus espais associats.

${\mathscr{H}}_{\Delta }^k(M)=\{\alpha \in {\Omega }^k(M)\mid \Delta \alpha =0\}.$

ya que $d{\mathscr{H}}_{\Delta }^k(M)=0$, hi ha una aplicació canònica $\phi :{\mathscr{H}}_{\Delta }^k(M)\to H^k(M)$. La primera part del conegut com Teorema de Hodge afirma que dita aplicació φ és un isomorfisme d'espais vectorials. Dit d'un atre modo, per a cada classe de cohomología de De Rham en M existix una única forma harmònica que la representa.

Una conseqüència important és que els grups de cohomología de De Rham en varietats compactes deuen ser de dimensió finita. Açò es deu a que el operardor definit com Δ és, en particular, elíptic, i el núcleu d'un operador elíptic en una varietat compacta sempre és de dimensió finita.

Teoria de Hodge en complexos elíptics

De forma més general, la teoria de Hodge s'aplica a qualsevol complex elíptic sobre una varietat compacta.

Siga $E_0,E_1,\dots ,E_N$ un fibrado vectorial, en el seu corresponent mètrica, en una varietat compacta M i siga dV la seua forma de volum. Supongam que

$L_i:\Gamma (E_i)\to \Gamma (E_{i+1})$

són operadors diferenciables que actuen en seccions d'eixos fibrados vectorials, i que la seqüència induïda

$\Gamma (E_0)\to \Gamma (E_1)\to \cdots \to \Gamma (E_N)$

és un complex elíptic . S'introduïx la suma directa:

${ℰ}^{\bullet }=\underset{i}{⨁}\Gamma (E_i)$

$L=⨁L_i:{ℰ}^{\bullet }\to {ℰ}^{\bullet }$

i siga L* l'adjunt de L. Es pot definir l'operador elíptic Δ = LL* + LL. De la mateixa manera que en el cas de De Rham, pugues llavors definir-se l'espai vectorial de les seccions harmòniques.

$\mathscr{H}=\{e\in {ℰ}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.$

Aixina que, siga $H:{ℰ}^{\bullet }\to \mathscr{H}$ la proyecció ortogonal, i siga G l'operador de Green para Δ. En eixe cas, la Teorema de Hodge assegura que:

1. H and G estan ben definits.
2. Aneu = H + ΔG = H + GΔ
3. LG = GL, LG = GL*

1. La cohomología del complex és isomorfa, de manera canònica, a l'espai de seccions harmòniques, $H(E_j)\cong \mathscr{H}(E_j)$, en el sentit de que cada classe de cohomología té un únic representant harmònic.

Estructures de Hodge

Es pot donar una definició abstracta d'una estructura de Hodge (en el camp real) de la següent forma: per a un espai vectorial real W, una estructura de Hodge en pes k (sancer) en W és una descomposició com suma directa de W^C = W ⊗ C, la complexificación de W, en peces en grau W^{p, q} a on k = p + q, i de manera que la conjugació complexa de W^C intercanvia este subespacio en W^{q, p}.

En geometria algebraica, es té llavors el següent enunciat bàsic: els grups de cohomología singular en coeficients reals d'una varietat proyectiva complexa no singular V estan dotats d'una estructura de Hodge, de manera que $H^k(V)$ possee la descomposició requerida en subespacios complexos H^{p, q}. Açò té una coneguda conseqüència per als números de Betti, ya que prenent dimensions

$b_k=\dim H^k(V)=\sum _{p+q=k}{h}^{p,q},$

a on la suma està feta sobre les parelles p, q en p + q = k i a on

$h^{p,q}=\dim H^{p,q}.$

La successió de números de Betti es convertix llavors en un diamant de Hodge de números de Hodge que s'estén en dos dimensions.

Esta graduació prové de la teoria de les formes harmòniques, les quals són representants privilegiats de la classe de cohomología de De Rham anulats pel laplaciano de Hodge (generalisant les propietats d'una funció harmònica, la qual, com a conseqüència del principi del màxim, en una varietat compacta deu ser localment constant ). En treballs posteriors de Dobealt ha segut mostrat que la descomposició de Hodge també apareix per a grups de cohomología de fas $H^q(V,{\Omega }^p)$ a on Ω^p és el fes de p-formes holomorfas. Açò permet, en este cas, tindre una interpretació més algebraica, que no recorre a cap laplaciano.

Vore també

• Conjectura de Hodge

Referències

• P. Griffiths (1994). Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, p. 117. ISBN 0-471-05059-8.
• (1941).«The Theory and Applications of Harmonic Integrals».Cambridge University Press.
• Ofer Gabber, Lorenzo Ramero (2009). Foundations for almost ring theory.