Teorema de Liouville (anàlisis complex)

Archiu:Joseph liouville.jpeg

Joseph Liouville

En matemàtiques, i en particular en l'anàlisis complex, la teorema de Liouville, cridat aixina en honor al matemàtic Joseph Liouville, afirma que si una funció és holomorfa en tot el pla complex i està acotada, llavors és constant. Note's que esta afirmació és falsa en els número real (prenga's, per eixemple, la funció $\cos (x)$, que és derivable en tota la recta real i està acotada, pero no és constant).

Enunciat de la teorema

Siga $f:ℂ\to ℂ$ una funció sancera i acotada, és dir, existix $M>0$ tal que

$|f(z)|<M\mathrm{\forall }z\in ℂ$;

llavors resulta que $f$ és constant.

Una versió més general d'esta teorema afirma que si $f:ℂ\to ℂ$ és una funció sancera i si $\mathrm{\forall }z\in ℂ$ es té que $|f(z)|\le C+D|z{|}^n$, en $C,D>0$ per a algun $n\in {\mathbb{N}}_0$, llavors $f$ deu ser un polinomi de grau a lo més $n$. Com a conseqüència directa de lo anterior, si $|f(z)|\le |p(z)|,\mathrm{\forall }z\in ℂ$, en $p(z)\in ℂ[z]$, un polinomi de grau $n$, llavors $f$ és un polinomi de grau a lo més $n$.

Demostració

La fòrmula integral de Cauchy diu que

De modo que

Com podem elegir $r$ tan gran com vullgam, concloem que $f^{\prime }(z)=0$ para tot $z$ en $ℂ$. Finalment, com $f$ està definida sobre un conjunt simplement conexo, llavors f deu ser constant.