Atles (matemàtica)

Un atles és un conjunt de cartes d'un espai, de manera que a cada «regió» de dit espai li corresponen unes coordenades. De manera més exacta, en un espai topològic, una carta cobrix un entorn del mateix i assigna coordenades als punts dins de dit entorn. Un atles és un conjunt de cartes que, ademés de cobrir l'espai per complet, en cas de superposició entre dos cartes, les coordenades assignades per una i una atra estan relacionades simplement per una funció vectorial en «bones propietats» (és un homeomorfisme, o inclús un difeomorfismo).

Els atles són la ferramenta que permet donar estructura diferenciable als espais topològics, sent el substrat per a les nocions de la geometria diferencial de varietats.

Definició

Donat un espai topològic $X$, una carta és un homeomorfisme que proveïx de coordenades als punts d'un entorn obert del mateix:

Una carta (o entorn coordenado) és un parell (O, φ) a on O és un obert de X i φ : O → Rn és un homeomorfisme

Un atles és un conjunt de cartes que cobrix la varietat al complet, i de tal manera que siguen compatibles entre sí: si dos cartes donen coordenades distintes per a una regió de X, llavors la funció «canvie de coordenades» ha de ser biyectiva i contínua en abdós sentits.

Diferenciabilidad

La definició anterior és estrictament per a un atles de classe C⁰. Exigint que les funcions de transició φ_ij siguen difeomorfismos de classe C^k, obtindríem un atles de classe C^k (a on k és un sancer positiu, ∞, o inclús ω per a atles analítics).

Compatibilitat. Estructura diferenciable.

La condició de compatibilitat entre cartes nos permet definir si dos atles de classe C^k són a la seua volta compatibles: ho són si el seu unió conjuntista és un atles a la seua volta, açò és, si poden «juntar-se» en un sol atles.

Dos atles compatibles pero distints donen coordenades a l'espai X de maneres essencialment equivalents. Per a definir l'estructura de varietat (ya siga topològica o diferenciable) sense ambigüitats, es recorre a una classe d'equivalència d'atles compatibles entre sí. Una atra manera és usar un atles maximal, que conté a qualsevol atles compatible en ell. A estos atles maximales se'ls denomina també estructures diferenciables (de classe C^k).

Coordenades curvilíneas

Donada una varietat de (pseudo)riemanniana $ℳ$, un conjunt obert $O$ del mateix i un punt dins de dit conjunt obert $m\in O\subset ℳ$, una carta local o "sistema de coordenades" local pot representar-se per una funció:

$\varphi :O\subset ℳ\to {ℝ}^{d}p\in O\wedge \varphi (p)=(x^1,x^2,\mathrm{...},x^d)\in {ℝ}^d$

A on d és la dimensió de l'espai a on es definix el sistema de coordenades local. Les d curvas coordenades C_i(t) i les seues vectores tangentes vénen definides per les equacions:

$\varphi (C_i(t))=(x^1(0),\mathrm{...},x^i(t),\mathrm{...},x^n(0)){𝐯}_i={C_i}^{\prime }(t)=\frac{\partial }{\partial x^i}$

Archiu:Curvilinear.svg

Coordenades Curvilíneas, afins i cartesianas en un espai bidimensional.

El càlcul diferencial en varietats permet generalisar el concepte de coordenades cartesianas, cilíndriques o esfèriques a variedads diferenciables, és dir, espais globalment no euclídeos que no obstant són localment euclídeos. Els sistemes de coordenades totalment generals són difícils i en general no tenen propietats que els facen interessants. Una classe especial d'estos són les coordenades ortogonals. Un sistema de coordenades serà ortogonal si els vectores tangentes a les curves coordenades x_i són ortogonals, és dir, si:

A on g(, ) és el tensor mètric de l'espai a on es definixen les coordenades.

Vore també

• Varietat diferenciable
• Varietat topològica

Bibliografia

• Wald, Robert (1984). General Relativity (en anglés), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. Capítul 2.