Teorema dels residus

La teorema dels residus és conseqüència directa del Teorema integral de Cauchy i forma part fonamental de la teoria matemàtica d'anàlisis complex.

Enunciat

Siga $f:D\subset ℂ\to ℂ$ una funció analítica en un domini simplement conexo $D$, llevat en un número finito de punts $z_k$ que constituïxen singularitats aïllades de $f$. Siga $C$ una curva en $D$, simple, tancada, regular a trossos, en orientació positiva i tal que el domini que esta definix conté les singularitats de $f$. Llavors es té:

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _k\mathrm{Res}(f,z_k)$

a on $\mathrm{Res}(f,z_k)$ és el Residu de la funció $f$ en el punt singular $z_k$.

Demostració

Siga $f$ holomorfa usant les equacions de Cauchy-Riemann la forma diferencial $f(z)dz$ és tancada. Per lo tant, usant el corolari sobre les diferencials de forma tancada, un domini simplement conexo, se sap que l'integral $\underset{C}{\int }f(z)dz$ és igual a $\underset{C^{\prime }}{\int }f(z)dz$ sempre que $C^{\prime }$ siga una curva homotópica en $C$.

En específic, es pot considerar una curva tipo $C^{\prime }$ la qual té una rotació al voltant dels punts $a_j$ sobre círculs menuts, quan s'unixen tots estos menuts círculs per mig de segments.

Ya que la curva $C^{\prime }$ seguix cada segment 2 voltes en alliniació oposta, solament es necessiten sumar les integrals de $f$ al voltant dels círculs menuts.

Conseqüentment siga $z=a_j+\rho e^{i\theta }$ parametrización de la curva al voltant del punt $a_j$, llavors es té $dz=\rho i{e}^{i\theta }d\theta$, per lo tant:

$\underset{C}{\int }f(z)dz=\underset{C^{\prime }}{\int }f(z)dz=\sum _j\eta (C,a_j)\underset{\partial B_{\rho }(a_j)}{\int }f(z)dz=\sum _j\eta (C,a_j)\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a_j+\rho e^{i\theta })\rho i{e}^{i\theta }d\theta$

a on $\rho >0$, triat tan extremadament diminut, tal que les esferes $B_{\rho }(a_j)$ estan totes desarticulades i totes en un mateix domini $U$. Llavors per mig de la linealidad en totes la singularitats, es demostra que para tota $j$:

$i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(a_j+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }d\theta =2\pi i\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(f,a_j).$

Siga $j$ fixa i aplique's la série de Laurent para $f$ en $a_j:$

$f(z)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_k(z-a_j{)}^k$

de tal forma que $\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{(}\mathrm{f},{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{c}}_{\mathrm{-}\mathrm{1}}$, a on c_-1, és el coeficient de $\frac{1}{(z-a_j)}$ en la série de Laurent. Llavors tenim:

Observe's que si $k=-1$, es té:

mentres que per a $k\ne -1$ es té que els térmens de la suma s'anulen, degut a que:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(k+1)\theta }d\theta ={\left[\frac{e^{i(k+1)\theta }}{i(k+1)}\right]}_0^{2\pi }=0.$

$◻$

Vore també

• Residu