Residu (anàlisis complex)

Es denomina residu d'una funció analítica $f(z)$ en una singularitat aïllada $z=z_0$ al número

$\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }f(z)dz$

a on $C$ representa una circumferència centrada en $z_0$, en l'interior de la qual no hi ha punts singulars de la funció, llevat $z_0$.

Càlcul de residus

Si $f(z)$ té una singularitat evitable en $z_0$, el residu és $\mathrm{Res}(f(z),z_0)=0$. Si $f(z)$ té un pol d'orde $N$ en $z_0$, llavors el residu es pot calcular com:

$\mathrm{Res}(f,z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{1}{(N-1)!}\frac{d^{N-1}}{d{z}^{N-1}}[(z-z_0{)}^{N}f(z)]$

En particular, si $N=1$ (pol simple),

$\mathrm{Res}(f,z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }(z-z_0)f(z)$

Si el punt $z_0$ és una singularitat essencial, el residu es calcula desenrollant la funció en série de Laurent entorn a $z_0$. El residu és el coeficient corresponent a la potència d'exponent $-1$.

Vore també

• Fòrmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy