Singularitat evitable

Una gràfica d'una paràbola en una singularitat removible en x = 2

Una gràfica d'una paràbola en una singularitat evitable en x = 2

En anàlisis complex, una singularitat evitable d'una funció holomorfa és un punt en el que la funció no està definida, pero a on és possible redefinir la funció de manera que la funció resultant siga holomorfa en un entorn d'eixe punt.

Per eixemple, la funció sinc (no normalisada)

$\mathrm{sinc}(z)=\frac{\sin (z)}{z}$

té una singularitat en $z=0$. No obstant, la singularitat es pot “evitar” definint $\mathrm{sinc}(0):=1$, que és el llímit de $\mathrm{sinc}$ quan $z\to 0$. La funció resultant no solament és contínua (que s'ha impost definint el valor de $\mathrm{sinc}$ en 0 com el seu llímit) sino que és holomorfa. Resulta que en variable complexa este sempre és el cas: sempre que una funció holomorfa no definida en un punt aïllat tinga llímit finito en eixe punt, es pot redefinir en eixe punt mantenint la holomorfía. El problema en el cas anterior estava causat per donar-li a $\mathrm{sinc}$ una forma indeterminada. Definint-la com una série de potències construïda a partir de la del sen, el problema desapareix (es pot evaluar en $z=0$ sense problema):

$\text{sinc}(z)=\frac{1}{z}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\cdots .$

Formalment, si $U\subseteq ℂ$ és un subconjunt obert del pla complex $ℂ$, $a\in U$ és un punt de $U$ i $f:U\setminus \{a\}\to ℂ$ és una funció holomorfa, diem que $a$ és una singularitat evitable de $f$ si existix una funció holomorfa $g:U\to ℂ$ que coincidix en $f$ en $U\setminus \{a\}$. Direm que $f$ és extendible holomórficamente a $U$ si existix tal funció $g$.

Note's que implícitament en la definició se supon que la singularitat en $a$ és aïllada, en el sentit de que deu haver un entorn de $a$ en el que no hi haja més singularitats. Açò es pot vore fàcilment observant que $a\in U$ i $U$ és obert, per lo que existix un entorn $B$ de $a$ totalment contingut en $U$: $a\in B\subseteq U$. Com estem suponent que $f$ és holomorfa en $U\setminus \{a\}$, es té que $f$ és holomorfa en tot l'entorn $B\setminus \{a\}\subseteq U\setminus \{a\}$, i no hi ha, puix, més singularitats en $B$ que $a$. Aixina, singularitats com les del logaritmo complex, per eixemple, que s'estenen a lo llarc de tota una semirrecta, queden fòra de l'alcanç d'esta definició.

Teorema de Riemann

La teorema de Riemann caracterisa les singularitats evitables com aquells punts aïllats que una funció holomorfa té llímit finito. En concret, enuncia lo següent:

Les implicacions 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 són trivials. Per a demostrar 4 ⇒ 1, utilisem que la holomorfía d'una funció en $a$ és equivalent a la seua analiticidad en $a$ (demostració), és dir, a que tinga una representació en série de potències. Definim la funció

$h(z)=\{\begin{array}{cc}(z-a{)}^{2}f(z)& z\ne a,\\ 0& z=a.\end{array}$

Clarament, $h$ és holomorfa en $D\setminus \{a\}$ per ser-ho $f$, i existix la seua derivada en $a$:

$h^{\prime }(a)=\underset{z\to a}{\lim }\frac{(z-a{)}^{2}f(z)-0}{z-a}=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=0$,

açò últim perque estem suponent cert (4). Aixina, $h$ és holomorfa en tot $D$, per lo que és analítica en $a$: podem expressar-la en série de potències com

$h(z)=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a{)}^2+c_3(z-a{)}^3+\cdots .$

Tenim que $c_0=h(a)=0$ i que $c_1=h^{\prime }(a)=0$, com acabem de calcular. Per tant,

$h(z)=c_2(z-a{)}^2+c_3(z-a{)}^3+\cdots .$

Per un atre costat, si $z\ne a$, tenim que

$f(z)=\frac{h(z)}{(z-a{)}^2}=c_2+c_3(z-a)+\cdots .$

Per tant, la funció $g(z):=\frac{h(z)}{(z-a{)}^2}=c_2+c_3(z-a)+\cdots$ és una extensió holomorfa a $D$ de $f$, que és lo volíem trobar. $◻$

Bibliografia

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Complex Analysis (en anglés), Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.