Matriu per blocs

En matemàtiques, una matriu per blocs o una matriu particionada és una matriu interpretada, caracterisada per estar dividida en seccions nomenades blocs o submatrices.^[1] Intuitivament, una matriu interpretada com una matriu per blocs es pot visualisar com la matriu original en una colecció de llínees horisontals i verticals que la dividixen, o particionan, en una colecció de matrius més menudes.^[2] Qualsevol matriu es pot interpretar com una matriu per blocs d'una o més formes, en cada interpretació definida per la forma en que es dividixen les seues files i columnes.

Esta noció es pot fer més precisa per mig d'una matriu $M$ de dimensió $n$ per $m$ , subdividiendo $n$ en una colecció de $rowgroups$ i després subdividiendo $m$ en una colecció de $colgroups$ . La matriu original es considera llavors com el total d'estos grups, en el sentit de que l'entrada $(i, j)$ de la matriu original correspon un a un en alguna entrada $(s, t)$ desplaçada sobre algun $(x, y)$ , a on $x \in grupo de filas$ i $y \in grupo de columnas$ .

L'àlgebra matricial per blocs sorgix en general de biproductos en categories de matrius.^[3]

Eixemple

La matriu

𝐏 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 7 \\ 1 & 5 & 6 & 2 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 3 & 6 & 7 \end{matrix}]

es pot dividir en quatre blocs de 2 × 2

𝐏_{11} = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 5 \end{matrix}], 𝐏_{12} = [\begin{matrix} 2 & 7 \\ 6 & 2 \end{matrix}], 𝐏_{21} = [\begin{matrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix}], 𝐏_{22} = [\begin{matrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix}] .

La matriu particionada es pot escriure com

𝐏 = [\begin{matrix} 𝐏_{11} & 𝐏_{12} \\ 𝐏_{21} & 𝐏_{22} \end{matrix}] .

Multiplicació de matrius per blocs

És possible utilisar un producte matricial dividit per blocs que involucre solament l'àlgebra en les submatrices dels factors. No obstant, la partició dels factors no és arbitrària i requerix particions conformables^[4] entre dos matrius $A$ i $B$ de manera que tots els productes de les submatrices que es vagen a utilisar estiguen definits.^[5] Donada una matriu $(m \times p)$ $𝐀$ en particions de fila $q$ i particions de columna $s$

𝐀 = [\begin{matrix} 𝐀_{11} & 𝐀_{12} & \dots & 𝐀_{1 s} \\ 𝐀_{21} & 𝐀_{22} & \dots & 𝐀_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 𝐀_{q 1} & 𝐀_{q 2} & \dots & 𝐀_{q s} \end{matrix}]

i una matriu $(p \times n)$ $𝐁$ en particions de fila $s$ i particions de columna $r$

𝐁 = [\begin{matrix} 𝐁_{11} & 𝐁_{12} & \dots & 𝐁_{1 r} \\ 𝐁_{21} & 𝐁_{22} & \dots & 𝐁_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 𝐁_{s 1} & 𝐁_{s 2} & \dots & 𝐁_{s r} \end{matrix}],

que són compatibles en les particions de $A$ , el producte de matrius

𝐂 = 𝐀 𝐁

es pot abordar per blocs, donant $𝐂$ com una matriu $(m \times n)$ en particions de fila $q$ i particions de columna $r$ . Les submatrices de la matriu resultant $𝐂$ es calculen multiplicant:

𝐂_{q r} = \sum_{i = 1}^{s} 𝐀_{q i} 𝐁_{i r} .

O, utilisant el conveni de suma d'Einstein que suma implícitament sobre índexs repetits:

𝐂_{q r} = 𝐀_{q i} 𝐁_{i r} .

Vore també

Producte de Kronecker (producte directe de matrius que dona com resultat una matriu per blocs)

Referències

↑ Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory, reprint edició, New York: Dover, p. 37. ISBN 0-486-63946-0. «Descobrirem que a voltes és convenient subdividir una matriu en blocs rectangulars d'elements. Açò nos du a considerar les anomenades matrius particionadas o per blocs.»
↑ Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra, 7th edició, New York: John Wiley, p. 30. ISBN 0-471-58742-7. «Una matriu es pot subdividir o particionar en matrius més chicotetes insertant lineas horisontals i verticals entre les files i columnes seleccionades.»
↑ “Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach” (2013). Science of Computer Programming 78 (11): 2160–2191. doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.
↑ Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory, reprint edició, New York: Dover, p. 37. ISBN 0-486-63946-0. «Un particionado com en la Teorema 1.9.4 és denominat un particionado conformable de A i B.»
↑ Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra, 7th edició, New York: John Wiley, p. 36. ISBN 0-471-58742-7. «...sempre que els tamanys de les submatrices d'i B siguen tals que es puguen realisar les operacions indicades.»

Bibliografia

Strang, Gilbert. «Lecture 3: Multiplication and inverse matrius». MIT Open Course ware.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz por bloques» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory, reprint edició, New York: Dover, p. 37. ISBN 0-486-63946-0. «Descobrirem que a voltes és convenient subdividir una matriu en blocs rectangulars d'elements. Açò nos du a considerar les anomenades matrius particionadas o per blocs.»

[2] Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra, 7th edició, New York: John Wiley, p. 30. ISBN 0-471-58742-7. «Una matriu es pot subdividir o particionar en matrius més chicotetes insertant lineas horisontals i verticals entre les files i columnes seleccionades.»

[3] “Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach” (2013). Science of Computer Programming 78 (11): 2160–2191. doi:10.1016/j.scico.2012.07.012.

[4] Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory, reprint edició, New York: Dover, p. 37. ISBN 0-486-63946-0. «Un particionado com en la Teorema 1.9.4 és denominat un particionado conformable de A i B.»

[5] Anton, Howard (1994). Elementary Linear Algebra, 7th edició, New York: John Wiley, p. 36. ISBN 0-471-58742-7. «...sempre que els tamanys de les submatrices d'i B siguen tals que es puguen realisar les operacions indicades.»

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]