Producte de Kronecker

En matemàtiques, es diu producte de Kronecker, denotat en $\otimes$, a una operació sobre dos matrius de tamany arbitrari que dona com resultat una matriu bloc. És un cas especial del producte tensorial. El producte de Kronecker no deuria confondre's en el producte de matrius habitual, que és una operació totalment diferent. Deu el seu nom al matemàtic alemà Leopold Kronecker.

Definició

Si $A$ és una matriu $m\times n$ i $B$ és una matriu $p\times q$, llavors el producte de Kronecker $A\otimes B$ és la matriu bloc $mp\times nq$.

$A\otimes B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right].$

Més explícitament, tenim

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \dots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \dots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \dots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right).$

Eixemples

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& a_{11}{b}_{13}& a_{12}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{12}{b}_{13}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& a_{11}{b}_{23}& a_{12}{b}_{21}& a_{12}{b}_{22}& a_{12}{b}_{23}\\ a_{21}{b}_{11}& a_{21}{b}_{12}& a_{21}{b}_{13}& a_{22}{b}_{11}& a_{22}{b}_{12}& a_{22}{b}_{13}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{21}{b}_{22}& a_{21}{b}_{23}& a_{22}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{22}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{11}& a_{31}{b}_{12}& a_{31}{b}_{13}& a_{32}{b}_{11}& a_{32}{b}_{12}& a_{32}{b}_{13}\\ a_{31}{b}_{21}& a_{31}{b}_{22}& a_{31}{b}_{23}& a_{32}{b}_{21}& a_{32}{b}_{22}& a_{32}{b}_{23}\end{array}\right]$.

Propietats

Bilinealidad

El producte de Kronecker és un cas especial del producte tensorial, aixina que és bilineal i associatiu

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\text{(si }B\text{ y }C\text{ son de iguales dimensiones)},$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\text{(si }A\text{ y }B\text{ son de iguales dimensiones)},$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

a on A, B i C són matrius i k és un escalar.

El producte de Kronecker no és conmutativo: en general, A$\otimes$B i B$\otimes$A són matrius diferents. No obstant, A$\otimes$B i B$\otimes$A sò equivalents en permutació, lo que vol dir que existixen matrius permutació P i Q tals que

$A\otimes B=P(B\otimes A)Q.$

Si A i B són matrius quadrades, llavors A$\otimes$B i B$\otimes$A sò inclús de permutació similar, lo que vol dir que podem prendre P = Q^T.

La propietat del producte mixt

Si A, B, C i D són matrius de manera que es puguen formar els productes AC i BD, llavors

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.$

A açò es diu la propietat del producte mixt, perque mescla el producte ordinari de matrius i el de Kronecker. Es deduïx que A $\otimes$ B és inversible si i solament si A i B són inversibles, en el cas de la qual l'inversa la dona

$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

També es deduïx que

$(A\otimes B{)}^T=A^T\otimes B^T$

done la T indica transposició de matrius.

Espectre

Supongam que A i B són matrius quadrades de tamanys respectius n i q. Sean λ₁,..., λ_n els autovalores de A i μ₁,..., μ_q els de B (llistats d'acort a la multiplicitat). Llavors els autovalores de A $\otimes$ B són

${\lambda }_i{\mu }_j,i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,q.$

Es deduïx que la traça i el determinant d'un producte de Kronecker vénen daus per

$\mathrm{tr}(A\otimes B)=\mathrm{tr}A\mathrm{tr}B\text{y}\det (A\otimes B)=(\det A{)}^q(\det B{)}^n.$

Valors singulars

Si A i B són matrius rectangulars, llavors es poden considerar les seues valors singulars. Supongam que A té r_A valors singulars no nuls

${\sigma }_{A,i},i=1,\dots ,r_A.$

De forma similar, denotem els valors singulars no nuls de B en

${\sigma }_{B,i},i=1,\dots ,r_B.$

Llavors el producte de Kronecker A $\otimes$ B té r_Ar_B valors singulars no nuls,

${\sigma }_{A,i}{\sigma }_{B,j},i=1,\dots ,r_A,j=1,\dots ,r_B.$

Ya que el ranc d'una matriu és igual al número dels seus valors singulars no nuls, trobem que

$\mathrm{rang}(A\otimes B)=\mathrm{rang}A\mathrm{rang}B.$

Relació en el producte tensorial abstracte

El producte de Kronecker de matrius correspon al producte tensorial abstracte d'aplicacions llineals. Específicament, si les matrius A i B representen les transformacions llineals V₁ → W₁ i V₂ → W₂, respectivament, llavors la matriu A $\otimes$ B representa el producte tensorial de les dos aplicacions, V₁ $\otimes$ V₂ → W₁ $\otimes$ W₂.

Referències

• Roger Horn and Charles Johnson. Topics in Matrix Analysis, Capítul 4. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-46713-6.