Coordenades log-polars

En matemàtiques, les coordenades logarítmiques polars (o coordenades polars logarítmiques) són un sistema de coordenades en dos dimensions, a on un punt s'identifica en dos números, un per al logaritmo de la distància a un cert punt i un atre per a un àngul. Les coordenades logarítmiques estan estretament conectades en les coordenades polars, que generalment s'usen per a descriure dominis en el pla en algun tipo de simetria rotacional. En àrees com l'anàlisis harmònic i complex, les coordenades log-polars són més canòniques que les coordenades polars.

Definició i transformacions de coordenades

Les coordenades logarítmiques en el pla consistixen en un parell d'número real (ρ, θ), a on ρ és el logaritmo de la distància entre un punt donat i l'orige i θ és l'àngul entre una llínea de referència (l'eix x ) i la llínea a través de l'orige i el punt. La coordenada angular és la mateixa que per a les coordenades polars, mentres que la coordenada radial es transforma d'acort en la regla

$r=e^{\rho }$.

a on $r$ és la distància a l'orige. Les fòrmules per a la transformació de coordenades cartesianas logarítmiques estan donades per

$\{\begin{array}{c}\rho =\log \sqrt{x^2+y^2},\\ \theta =\arctan y/x\text{ si }x>0.\end{array}$Plantilla:Dubious

I les fòrmules per a transformació de coordenades log-polars a cartesianas són:

$\{\begin{array}{c}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\ y=e^{\rho }\sin \theta .\end{array}$

Per mig de l'us d'número complejo (x, i) = x + ii, l'última transformació es pot escriure com

$x+iy=e^{\rho +i\theta },$

és dir, la funció exponencial complexa. D'açò es deduïx que les equacions bàsiques en l'anàlisis harmònic i complex tindran la mateixa forma simple que en les coordenades cartesianas. Este no és el cas de les coordenades polars.

Algunes equacions importants en coordenades log-polars

Equació de Laplace

l'equació de Laplace en dos dimensions està donada per

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

en coordenades cartesianas. Si s'escriu la mateixa equació en coordenades polars, resulta una més complicada:

$r\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0$,

o de forma equivalent:

${\left(r\frac{\partial }{\partial r}\right)}^{2}u+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0$.

No obstant, de la relació $r=e^{\rho }$ resulta que $r\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial }{\partial \rho }$, per lo que l'equació de Laplace en coordenades log-polars,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\rho }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}=0$,

té la mateixa expressió simple que en les coordenades cartesianas. Açò és cert per a tots els sistemes de coordenades a on la transformació a coordenades cartesianas està donada per un mapage conforme. Per lo tant, en considerar l'equació de Laplace per a una part del pla en simetria rotacional, p. eix., un disc circular, les coordenades logarítmiques polars seran l'elecció òbvia.

Equacions de Cauchy-Riemann

Una situació similar sorgix quan es considera una funció analítica. Una funció analítica $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ escrita en coordenades cartesianas satisfà les equacions de Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Si, en canvi, la funció s'expressa en forma polar $f(r{e}^{i\theta })=R{e}^{i\Phi }$, les equacions de Cauchy-Riemann prenen la forma més complicada

$r\frac{\partial \log R}{\partial r}=\frac{\partial \Phi }{\partial \theta },\frac{\partial \log R}{\partial \theta }=-r\frac{\partial \Phi }{\partial r}.$

De la mateixa manera que en el cas de l'equació de Laplace, la forma simple de les coordenades cartesianas es recupera canviant les coordenades polars a coordenades log-pol (siga $P=\log R$):

$\frac{\partial P}{\partial \rho }=\frac{\partial \Phi }{\partial \theta },\frac{\partial P}{\partial \theta }=-\frac{\partial \Phi }{\partial \rho }$

Les equacions de Cauchy-Riemann també es poden escriure en una sola equació:

$(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})f(x+iy)=0$.

Expressant $\frac{\partial }{\partial x}$ i $\frac{\partial }{\partial y}$ en térmens de $\frac{\partial }{\partial \rho }$ i $\frac{\partial }{\partial \theta }$, esta equació es pot escriure en la seua forma equivalent

$(\frac{\partial }{\partial \rho }+i\frac{\partial }{\partial \theta })f(e^{\rho +i\theta })=0$.

Equació de Euler

Si es vol resoldre el problema de Dirichlet en un domini en simetria rotacional, lo habitual és utilisar el método de separació de variables per a equacions diferencials parcials per a l'equació de Laplace en forma polar. Açò s'escriu com $u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$. L'equació de Laplace se separa en dos equacions diferencials ordinàries,

$\{\begin{array}{c}{\Theta }^{″}(\theta )+{\nu }^2\Theta (\theta )=0\\ r^2{R}^{″}(r)+r{R}^{\prime }(r)-{\nu }^{2}R(r)=0\end{array}$

a on $\nu$ és una constant. La primera d'estes té coeficients constants i es resol fàcilment. La segona és un cas especial de l'equació de Euler

$r^2{R}^{″}(r)+cr{R}^{\prime }(r)+dR(r)=0$

a on $c,d$ són constants. Esta equació generalment es resol en el ansatz $R(r)=r^{\lambda }$, pero a través de l'us del radi log-polar, es pot transformar en una equació en coeficients constants:

$P^{″}(\rho )+(c-1)P^{\prime }(\rho )+dP(\rho )=0$

En considerar l'equació de Laplace, $c=1$ i $d=-{\nu }^2$ tal que l'equació per a $r$ pren la forma simple

$P^{″}(\rho )-{\nu }^{2}P(\rho )=0$.

En resoldre el problema de Dirichlet en coordenades cartesianas, estes són exactament les equacions per a x i i. Per lo tant, i una volta més, l'elecció òbvia per a un domini en simetria rotacional no són coordenades polars, sino logarítmiques polars.

Vore també

• Sistemes de coordenades
• Coordenades polars
• Coordenades cartesianas
• Càlcul multiplicativo