Coordenades oblicuas

Erro al crear miniatura:

Sistema de coordenades cartesianas oblicuo bidimensional

Un sistema de coordenades oblicuas és un tipo de sistema de coordenades curvilíneo a on les superfícies coordenades no són ortogonals, a diferència de lo que succeïx en el cas de les coordenades ortogonals.

El treball en coordenades oblicuas tendix a ser més complex que en coordenades ortogonals, ya que la seua tensor mètric tindrà components distintes de zero situades fòra de la diagonal, lo que impedix realisar numeroses simplificació en les fòrmules del àlgebra tensorial i del càlcul tensorial. Les components anara de la diagonal distintes de zero del tensor mètric són un resultat directe de la no ortogonalidad dels vectores de la base de les coordenades, ya que per definició:

$g_{ij}={𝐞}_i\cdot {𝐞}_j$

a on $g_{ij}$ és el tensor mètric i ${𝐞}_i$ els vectores de la base (covariants).

Estos sistemes de coordenades poden resultar útils si la geometria d'un problema encaixa be en un sistema oblicuo. Per eixemple, resoldre les equacions de Laplace en un paralelogramo serà més fàcil si es realisa en un sistema de coordenades oblicuo adequat.

Coordenades cartesianas en un eix oblicuo

Erro al crear miniatura:

Un sistema de coordenades a on l'eix x s'ha desviat cap a l'eix z

El cas 3D més simple d'un sistema de coordenades oblicuas és un sistema cartesiano en el que un dels eixos (per eixemple, l'eix x) s'ha desviat segons un àngul donat $\varphi$, permaneixent ortogonal a un dels dos eixos restants. Per a este eixemple, s'ha desviat l'eix x d'un sistema de coordenades cartesianas cap a l'eix z segons un àngul $\varphi$, permaneixent ortogonal a l'eix i.

Àlgebra i expressions útils

Sean ${𝐞}_1$, ${𝐞}_2$ i ${𝐞}_3$ respectivament vectores unitaris en els eixos $x$, $y$ i $z$, que representen una base covariant. Calcular els seus productes escalares permet obtindre el tensor mètric:

$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \sin (\varphi )\\ 0& 1& 0\\ \sin (\varphi )& 0& 1\end{array}\right),[g^{ij}]=\frac{1}{{\cos }^2(\varphi )}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -\sin (\varphi )\\ 0& {\cos }^2(\varphi )& 0\\ -\sin (\varphi )& 0& 1\end{array}\right)$

a on

$g_{13}=\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )=\sin (\varphi )$

i

$\sqrt{g}={𝐞}_1\cdot ({𝐞}_2\times {𝐞}_3)=\cos (\varphi )$,

cantitats que seran útils més alvance.

La base contravariante ve donada per

${𝐞}^1=\frac{{𝐞}_2\times {𝐞}_3}{\sqrt{g}}=\frac{{𝐞}_2\times {𝐞}_3}{\cos (\varphi )}$

${𝐞}^2=\frac{{𝐞}_3\times {𝐞}_1}{\sqrt{g}}={𝐞}_2$

${𝐞}^3=\frac{{𝐞}_1\times {𝐞}_2}{\sqrt{g}}=\frac{{𝐞}_1\times {𝐞}_2}{\cos (\varphi )}$

La base contravariante no és molt convenient d'usar; no obstant, apareix en les definicions, per lo que deu considerar-se, encara que es preferixca escriure cantitats sobre la base covariant.

Ya que tots els vectores de la base són constants, la suma i resta de vectores serà simplement una suma i resta ordinàries de components. Ara, es considera que

$𝐚=\sum _i{a}^i{𝐞}_i\text{and}𝐛=\sum _i{b}^i{𝐞}_i$

a on les sumes indiquen la suma de tots els valors de l'índex (en este cas, i = 1, 2, 3). Les components contravariantes i covariants d'estos vectores poden estar relacionades per

$a^i=\sum _j{a}_j{g}^{ij}$

per a que, explícitament,

$a^1=\frac{a_1-\sin (\varphi )a_3}{{\cos }^2(\varphi )},$

$a^2=a_2,$

$a^3=\frac{-\sin (\varphi )a_1+a_3}{{\cos }^2(\varphi )}.$

El producte escalar en térmens de components contravariantes és llavors

$𝐚\cdot 𝐛=\sum _i{a}^i{b}_i=a^1{b}^1+a^2{b}^2+a^3{b}^3+\sin (\varphi )(a^1{b}^3+a^3{b}^1)$

i en térmens de components covariants

$𝐚\cdot 𝐛=\frac{1}{{\cos }^2(\varphi )}[a_1{b}_1+a_2{b}_2{\cos }^2(\varphi )+a_3{b}_3-\sin (\varphi )(a_1{b}_3+a_3{b}_1)].$

Càlcul

Per definició, el gradient d'una funció escalar f és

$\mathrm{\nabla }f=\sum _i{𝐞}^i\frac{\partial f}{\partial q^i}=\frac{\partial f}{\partial x}{𝐞}^1+\frac{\partial f}{\partial y}{𝐞}^2+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}^3$

a on $q_i$ són les coordenades x, i, z indexades. Reconeixent açò com un vector escrit en térmens d'una base contravariante, es pot reescriure:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}-\sin (\varphi )\frac{\partial f}{\partial z}}{\cos (\varphi {)}^2}{𝐞}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{𝐞}_2+\frac{-\sin (\varphi )\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}}{\cos (\varphi {)}^2}{𝐞}_3.$

La divergència d'un vector $𝐚$ és

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐚=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _i\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\sqrt{g}{a}^i\right)=\frac{\partial a^1}{\partial x}+\frac{\partial a^2}{\partial y}+\frac{\partial a^3}{\partial z}.$

i d'un tensor $𝐀$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{\sqrt{g}}\sum _{i,j}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\sqrt{g}{a}^{ij}{𝐞}_j\right)=\sum _{i,j}{𝐞}_j\frac{\partial a^{ij}}{\partial q^i}.$

l'operador laplaciano de f és

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f=\frac{1}{\cos (\varphi {)}^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}-2\sin (\varphi )\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

i, ya que la base covariant és normal i constant, l'operador laplaciano és lo mateix que el laplaciano per components d'un vector escrit en térmens de la base covariant.

Si ben tant el producte escalar com el gradient són alguna cosa complicats perque tenen térmens adicionals (en comparació a un sistema cartesiano), l'operador advección, que combina un producte escalar en un gradient, resulta molt simple:

$(𝐚\cdot \mathrm{\nabla })=\left(\sum _i{a}^i{e}_i\right)\cdot \left(\sum _i\frac{\partial }{\partial q^i}{𝐞}^i\right)=\left(\sum _i{a}^i\frac{\partial }{\partial q^i}\right)$

que es pot aplicar tant a funcions escalares com a funcions vectorials per mig dels seus components quan s'expressa en una base covariant.

Finalment, el rotacional d'un vector és

$\mathrm{\nabla }\times 𝐚=\sum _{i,j,k}{𝐞}_k{ϵ}^{ijk}\frac{\partial a_j}{\partial q^i}=$

$\frac{1}{\cos (\varphi )}((\sin (\varphi )\frac{\partial a^1}{\partial y}+\frac{\partial a^3}{\partial y}-\frac{\partial a^2}{\partial z}){𝐞}_1+(\frac{\partial a^1}{\partial z}+\sin (\varphi )(\frac{\partial a^3}{\partial z}-\frac{\partial a^1}{\partial x})-\frac{\partial a^3}{\partial x}){𝐞}_2+(\frac{\partial a^2}{\partial x}-\frac{\partial a^1}{\partial y}-\sin (\varphi )\frac{\partial a^3}{\partial y}){𝐞}_3).$