Ortogonalidad (matemàtica)

En matemàtiques, el terme ortogonalidad (del grec ὀρθός, ‘recte’, i γωνία, ‘àngul’) és una generalisació de la noció geomètrica de perpendicularidad. En l'espai euclídeo convencional, el terme ortogonal i el terme perpendicular són sinònims. No obstant, en espais de dimensió finita i en geometria no euclídeas, el concepte de ortogonalidad generalisa al de perpendicularidad.

Ortogonalidad en espais vectorials

Definició

Formalment, en un espai vectorial en producte interior V, dos vectorés $x \in V$ i $y \in V$ són ortogonals si el producte escalar de $⟨ x, y ⟩$ és zero.^[1] Esta situació es denota $x ⊥ y$ . Ademés, un conjunt As diu que és ortogonal a un atre conjunt B, si qualsevol dels vectores d'és ortogonal a qualsevol dels vectores del conjunt B.

Complement ortogonal

Si S és un subespacio vectorial de M, el complement ortogonal de S en M està format pels vectores de M que són perpendiculars a tots els vectores de S.

Eixemple 1
Eixemple 2. Càlcul pel método de Gauss

Ortogonalidad i perpendicularidad

En geometria euclídea es té, dos vectorés $X$ i $Y$ ortogonals formen un àngul recte, els vectores $v_{1} = (3, 4)$ i $v_{2} = (4, - 3)$ lo són ya que, $⟨ v_{1}, v_{2} ⟩ = v_{1} \cdot v_{2} = 3 \times 4 + 4 \times (- 3) = 0$ . En espais no euclídeos pot definir-se de modo abstracte l'àngul entre dos vectores a partir del producte interior.

Ortogonalidad respecte d'una matriu (A-ortogonalidad)

Donats dos vectores $u_{1}$ i $u_{2}$ pertanyents a un espai vectorial de dimensió $n$ i una matriu $A$ de dimensió $n \times n$ , si el productor escalar $⟨ u_{1}, A u_{2} ⟩$ , notat $⟨ u_{1}, u_{2} ⟩_{A}$ , és igual a zero, es diu que $u_{1}$ i $u_{2}$ són ortogonals respecte a la matriu $A$ o A-ortogonals. Un conjunt de $n$ vectores ${u_{i}}_{i = 1}^{n}$ es diu que forma una base A-ortonormal si $⟨ u_{i}, u_{j} ⟩_{A} = δ_{i j}$ para tot $i, j = 1, ..., n$ .

Transformació ortogonal

En geometria i àlgebra llineal, una transformació $φ : E ⟶ E$ d'un espai prehilbertiano $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ en sí mateixa —a on $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ representa el producte escalar en $E$ — és ortogonal quan $φ$ és una aplicació llineal de $E$ en sí mateixa (un automorfisme) de manera que qualssevol que siguen els $u, v \in E$ es complix que $⟨ φ (u), φ (v) ⟩ = ⟨ u, v ⟩$ .

En particular, el conjunt $E$ pot ser un espai euclídeo.

En cas que $E$ siga un espai vectorial sobre el cos dels número complejo, es dirà que $φ$ és transformació unitària.

Vore també

Referències

↑ «Ortogonalidad».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ortogonalidad (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Ortogonalidad».

[1]