Axioma de provabilitat

Els axioma de provabilitat són les condicions mínimes que deuen verificar-se per a que una funció definida sobre un conjunt de successos determine consistentemente les seues provabilitats. Varen ser formulats per Andréi Kolmogórov en 1933.

Axioma de Kolmogórov

Siga $\Omega$ un espai mostral i $𝒜$ una σ-àlgebra de subconjunts de $\Omega$.

A la terna $(\Omega ,𝒜,P)$ li la denomina espai de provabilitat, açò és, un espai de successos (espai mostral) en el que s'han definit els possibles successos a considerar (la σ-àlgebra de successos) i la provabilitat de cada succés (la funció de provabilitat).

Propietats que es deduïxen dels axioma

Dels axioma anteriors es coligen immediatament atres proposicions de la provabilitat:

1. $P(\mathrm{\varnothing })=0$ (a on el conjunt buit $\mathrm{\varnothing }$ representa en provabilitat el succés impossible).
2. Per a qualsevol succés, $P(S)\le 1$.
3. $P(\Omega \setminus S)=1-P(S)$.
4. Si $A\subseteq B$, llavors $P(A)\le P(B)$.
5. $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$
6. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
7. $P\left(\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(S_i)-\sum _{i_1<i_2}^{n}P(S_{i_1}\cap S_{i_2})+\sum _{i_1<i_2<i_3}^{n}P(S_{i_1}\cap S_{i_2}\cap S_{i_3})-\mathrm{...}+(-1{)}^{n-1}P\left(\bigcap _{i=1}^n{S}_i\right)$.
8. $P\left(\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right)\le \sum _{i=1}^{n}P(S_i)$.
9. $P\left(\bigcap _{i=1}^n{S}_i\right)\ge 1-\sum _{i=1}^{n}P(\Omega \setminus S_i)$

Vore també

• Axioma
• σ-àlgebra o Sigma-àlgebra
• Andréi Kolmogórov
• Teoremes de Provabilitat