Conjunt no mesurable

En matemàtiques, un conjunt no mesurable és un conjunt al que no es pot assignar un "tamany" en significat. l'existència matemàtica de tals conjunts s'interpreta per a donar informació de les nocions de llongitut, àrea i volum en teoria de conjunts formal.

La noció d'un conjunt no mesurable ha segut font de gran controvèrsia des de la seua introducció. Històricament, açò va dur a Borel i Kolmogórov a formular la teoria de provabilitat en conjunts llimitats a ser mesurables. Els conjunts mesurables sobre la recta són unions i interseccions iteradas d'intervals (cridats conjunts de Borel) més-menys conjunts de mida nula. Estos conjunts són lo prou amplis per a incloure tota definició concebible d'un conjunt que s'use en matemàtica estàndar, pero es requerix molt formalisme per a provar que un conjunt és mesurable.

En 1970, Solovay va construir el model de Solovay, que demostra que és consistent en la teoria de conjunts estàndar, excloent l'axioma d'elecció, que tots els subconjunts dels reals siguen mesurables.

Construccions històriques

El primer indici de que podria existir un problema definint la llongitut d'un conjunt arbitrari va ser el teorema de Vitali.

Quan es forma l'unió de dos conjunts disjuntos, s'esperaria que la mida del resultat fora la suma de la mida dels dos conjunts. Una mida en esta propietat natural es diu finitamente aditiva. Mentres que una mida finitamente aditiva és suficient per a la major part de l'intuïció d'àrea, i és anàloga a l'integració de Riemann, es considera insuficient per a la provabilitat, ya que els tractaments moderns convencionals de successions d'events o variables aleatòries precisen d'aditividad numerable.

En este sentit, el pla és similar a la recta; existix una mida finitamente aditiva, extensió de la mida de Lebesgue, que és invariante baix qualsevol isometría. En aumentar la dimensió, es torna pijor. La paradoxa de Hausdorff i la paradoxa de Banach-Tarski demostren que en prendre una bola tridimensional de radi 1 i dividir-la en 5 parts, en moure-les i rotarlas es poden obtindre dos boles de radi 1. Òbviament esta construcció no té significat en el món físic. En 1989, A. K. Dewdney va publicar una carta del seu amic Arlo Lipof en la revista Scientific American a on descriu una operació subterrànea "en un país suramericà" de duplicar boles d'or usant la paradoxa de Banach-Tarski. Naturalment, era una broma i "Arlo Lipof" és un anagrama de "April Fool".

Eixemple

Considere's S, el conjunt de tots els punts sobre la circumferència unitat, i l'acció sobre S d'un grup G, consistent en totes les rotacions racionals (rotacions en ànguls que siguen múltiples racionals de π). G és numerable (més específicament, G és isomorfo a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$) mentres que S és no numerable. Per tant, S es dividix en una cantitat no numerable d'òrbites baix G. Usant l'axioma d'elecció, es pot elegir un únic punt de cada òrbita, obtenint un subconjunt no numerable $X\subset S$ en la propietat de que totes les seues translacions per G són disjuntas de X i entre sí. El conjunt d'estes translacions forma una partició de la circumferència en una colecció numerable de conjunts disjuntos, que són tots congruents dos a dos (per rotacions racionals). El conjunt X serà no mesurable per a qualsevol mida de provabilitat numerablemente aditiva i rotacionalment invariante sobre S: si X té mida zero, la aditividad numerable implicaria que la circumferència completa té mida zero. Si X té mida positiva, la aditividad numerable provaria que la circumferència té mida infinita.

Vore també

• Àlgebra de Borel
• Mida (matemàtiques)
• Conjunt de Vitali
• Paradoxa de Hausdorff

• Paradoxa de Banach–Tarski

Referències

Bibliografia

• Dewdney, A. K.. “A matter fabricator provides matter for thought”. Scientific American (April): 116–119.