Conjunt de Vitali

En teoria de la mida, un conjunt de Vitali és un conjunt de número real que no és Lebesgue-mesurable. La teorema de Vitali és el teorema d'existència de dits conjunts. És aixina cridat en honor a Giuseppe Vitali.

La seua existència es demostra usant l'axioma d'elecció, lo que ho fa un resultat no constructiu.

L'importància dels conjunts no mesurables

Certs conjunts tenen un "tamany" definit; per eixemple, l'interval [0, 1] té llongitut 1, i en general, un interval [a, b], en a &li; b, té llongitut b − a. Si es pensa en tals intervals com a barres de metal, tindran aixina mateix masses definides. Si la barra [0, 1] pesa 1 quilo, la [3, 9] pesarà 6 quilos. El conjunt [0, 1] ∪ [2, 3] està compost per dos barres d'1 quilo cada una, en lo que el seu pes total serà de 2 quilos; en térmens matemàtics, la seua llongitut total és de 2.

Ací sorgix una pregunta natural: si I és un subconjunt arbitrari de la recta real, ¿necessàriament tindrà una llongitut? Com a eixemple, un es pot preguntar per la llongitut del conjunt de número racional. Com estan finamente escampats per la recta real, qualsevol resposta podria semblar raonable a primera vista.

La teoria matemàtica per a respondre a estes qüestions de manera correcta i coherent és la teoria de la mida. En este marc, la mida de Lebesgue, que assigna el pes b − a a l'interval [a, b], li assignarà un pes de 0 al conjunt dels racionals (de fet, tot conjunt numerable tindrà llongitut 0). Tot conjunt que tinga un pes ben definit es diu mesurable. De la construcció de la mida de Lebesgue (per eixemple, usant una mida exterior), no obstant, no és evident que hi haja o no conjunts no mesurables.

Construcció i demostració

Si x i i són reals, i x − i és racional, es dirà que x i i són equivalents, lo que es denota per x i; evidentment, és una relació d'equivalència. Per lo tant, les classes d'equivalència dels reals, definides per [x] = {i ∈ ℝ | x i} per a x ∈ ℝ, formen una partició de ℝ. Invocant l'axioma d'elecció, es pot prendre un conjunt V &puja; [0, 1] que continga exactament un membre representatiu de cada classe d'equivalència; açò és, que per a cada real x, el conjunt V ∩ [x] és un conjunt unitari.
Els conjunts V aixina definits es denominen conjunts de Vitali. Hi ha per supost infinites possibilitats per a V. Lo important és que l'axioma d'elecció estipula l'existència d'a lo manco una d'elles.

Ara, per a demostrar que un conjunt de Vitali donat, V, no és Lebesgue-mesurable, s'assumirà que sí ho és i aplegarem a contradicció. En això, l'única hipòtesis sense demostració (que V és mesurable) serà l'errònea. Tots els conjunts mesurables tenen les següents dos propietats:

1. Si A_i és una seqüència numerable de conjunts mesurables disjuntos dos a dos, llavors

   $\lambda \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (A_i).$

2. La mida de Lebesgue és invariante per translacions; açò és, per a tot real x i tot conjunt mesurable A, λ(A) = λ(A + x).

Primerament, siga q₁, q₂,... una enumeració dels racionals en [−1, 1] (puix este conjunt és numerable). Per la construcció de V, els conjunts V_k = V + q_k, en k natural, són disjuntos dos a dos (de lo contrari hi hauria dos números equivalents en V, contradient la seua definició). Per un atre costat, es pot demostrar que

$[0,1]\subseteq \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_k\subseteq [-1,2].$

Per a vore la primera inclusió, siga x ∈ [0, 1] i siga v l'únic element de [x] ∩ V; x − v és llavors un racional que necessàriament ha d'estar entre −1 i 1, per eixemple q_k, i per lo tant x ∈ V_k. La segona inclusió és conseqüència del fet que V &puja; [0, 1].

Ara be, com la mida λ és contablemente aditiva i no negativa, és creixent; açò és, si A&puja;B, llavors λ(A)&li;λ(B). Per lo tant,

$1\le \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_k\right)\le 3.$

Per un atre costat, gràcies a la aditividad de λ, es té també que

$\lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_k\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (V_k),$

lloc que els V_k són disjuntos. Com λ és invariante per translacions, λ(V_k) = λ(V) para tot k. Reemplaçant en els resultats anteriors, queda

$1\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (V)\le 3$

Açò és, una suma infinita d'un sol terme real i no negatiu està entre 1 i 3; ara be, si el terme fora zero, la suma donaria aixina mateix zero i seria per lo tant inferior a 1, mentres que si fora distint de zero, la suma donaria infinit i per lo tant seria superior a 3.

Esta conclusió és absurda, en la qual cosa, V no pot ser mesurable.

Vore també

• Paradoxa de Banach-Tarski