Paradoxa de Hausdorff

La paradoxa de Hausdorff és un enunciat matemàtic que du el nom de Felix Hausdorff. Establix que si a una esfera $S^{2}$ (una esfera tridimensional en $ℝ^{3}$ ) se li elimina un determinat subconjunt numerable, llavors, lo que queda, es pot dividir en tres subconjunts disjuntos $A, B$ i $C$ , de modo que $A, B, C$ i $B \cup C$ siguen congruents entre sí. En particular, es deduïx que en $S^{2}$ no hi ha cap mida finitamente aditiva definida en tots els subconjunts de modo que la mida de conjunts congruents siga igual (perque açò implicaria que la mida de $B \cup C$ és simultàneament $1 / 3$ , $1 / 2$ i $2 / 3$ de la mida distinta de zero de tota l'esfera).

La paradoxa es va publicar en la revista Mathematische Annalen en 1914, i també eixe mateix any en el llibre de Hausdorff Grundzüge der Mengenlehre. La demostració de la paradoxa de Banach-Tarski, molt més famosa, utilisa les idees de Hausdorff. La prova d'esta paradoxa es basa en l'axioma d'elecció.

Este plantejament demostra que no existix una mida finitamente aditiva en una esfera definida en "tots" els subconjunts que siga igual en peces congruents. Hausdorff va demostrar per primera volta en el mateix artícul el resultat menys complicat de que no hi ha una mida aditiva "numerable" definida en tots els subconjunts. L'estructura del grup de rotacions en l'esfera juga un paper crucial ací: –l'afirmació no és certa en el pla o en la recta. De fet, com va demostrar més alvance Banach,^[1] és possible definir un "àrea" per a "tots" els subconjunts acotats en el pla euclídeo (aixina com una "llongitut" en la recta real), de tal manera que els conjunts congruents tindran igual "àrea". Esta mida de Banach, no obstant, és sol finitamente aditiva, per lo que no és una mida en el sentit complet, pero és igual a la mida de Lebesgue en conjunts per als quals esta última existix. Açò implica que si dos subconjunts oberts del pla (o de la recta real) són equi descomponibles, llavors tenen igual àrea.

Vore també

Referències

↑ Stefan Banach, "Sur li problème de la mesure", Fonamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition dones ensembles de points en parties respectivement congruents", Theorem 16, Fonamenta Mathematicae 6: pp. 244–277, 1924.

Bibliografia

Hausdorff, Felix (1914). “Bemerkung über donen Inhalt von Punktmengen”. Mathematische Annalen 75 (3): 428–434. doi:10.1007/bf01563735. (Artícul original; en alemà)
Hausdorff, Felix (1914). Grundzüge der Mengenlehre (en de).

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Paradoja de Hausdorff» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Stefan Banach, "Sur li problème de la mesure", Fonamenta Mathematicae 4: pp. 7–33, 1923; Banach, "Sur la décomposition dones ensembles de points en parties respectivement congruents", Theorem 16, Fonamenta Mathematicae 6: pp. 244–277, 1924.

[1]