Mida de Banach

En la disciplina matemàtica de la teoria de la mida, una mida de Banach és una forma determinada d'assignar un tamany (o àrea) a tots els subconjunts del pla euclidiano, consistent en la mida de Lebesgue comunament utilisada, pero estenent-la. Si be hi ha certs subconjunts del pla que no són mesurables segons Lebesgue, tots els subconjunts del pla tenen una mida de Banach. Per un atre costat, la mida de Lebesgue és contablemente aditiva, mentres que una mida de Banach és només finitamente aditiva (i per lo tant li la coneix com "contingut").

Stefan Banach va demostrar l'existència de les mides de Banach en 1923. Açò va establir en particular que les descomposicions paradòxiques proporcionades per la paradoxa de Banach-Tarski en l'espai euclidiano R ³ no poden existir en el pla euclidiano R².

Definició

Una mida de Banach sobre R ⁿ és una funció $\mu :𝒫({ℝ}^n)\to [0,\mathrm{\infty }]$ (assignant un número real estés no negatiu a cada subconjunt de Rⁿ) tal que

• μ is finitely additive, i.i. $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ for any two disjoint sets $A,B\subseteq {ℝ}^n$;
• μ extends the Lebesgue measure λ, i.i. $\mu (A)=\lambda (A)$ for every Lebesgue-measurable set $A\subseteq {ℝ}^n$;
• μ is invariant under isometries of Rⁿ , i.i. $\mu (A)=\mu (f(A))$ for every $A\subseteq {ℝ}^n$ and every isometry $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$.

Propietats

La aditividad finita de μ implica que $\mu (\varnothing )=0$ i $\mu (A_1\cup \cdots \cup A_k)=\sum _{i=1}^k\mu (A_i)$ per a qualsevol conjunt disjunto per parells $A_1,\dots ,A_k\subseteq {ℝ}^n$ . També tenim $\mu (A)\le \mu (B)$ quan siga $A\subseteq B\subseteq {ℝ}^n$.

Ya que μ estén la mida de Lebesgue, sabem que $\mu (A)=0$ sempre que A siga un conjunt finit o contable i que $\mu ([a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n])=(b_1-a_1)\cdots (b_n-a_n)$ per a qualsevol producte d'intervals $[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_1,b_1]\subseteq {ℝ}^n$.

Ya que μ és invariante en isometría, és en particular invariante en rotacions i translacions.