Sigma-aditivitat

Erro al crear miniatura:

Eixemple gràfic de aditivitat.

En matemàtiques, aditivitat (específicament aditivitat finita) i sigma-aditivitat (també cridada aditivitat contable) d'una funció (a sovint una mida) definida en els subconjunts d'un conjunt dau, són abstracció de cóm se sumen propietats intuïtives de mida (llongitut, àrea, volum) d'un conjunt quàn es consideren objectes múltiples. Aditividad és una condició més dèbil que σ-aditivitat, i σ-aditivitat implica aditivitat.

Funcions aditivas

Siga $𝒜$ un àlgebra de conjunts i siga $\mu :𝒜⟶[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ una funció (vore recta real estesa).

La funció $\mu$ es diu aditiva o aditiva finita si quan $A$ i $B$ són conjunts disjunts en $𝒜$, es té:

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

Una conseqüència d'açò és que una funció aditiva no pot prendre els valors $-\mathrm{\infty }$ ni $+\mathrm{\infty }$, puix l'expressió $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ no està definida.

Es pot provar per inducció que per a qualsevol colecció finita de conjunts disjunts $A_1,A_2,\dots ,A_n\in 𝒜$, una funció aditiva satisfà:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mu (A_i)$.

Funcions σ-aditivas

Siga $𝒜$ una σ-àlgebra de conjunts i siga $\mu :𝒜⟶[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ una funció.

La funció $\mu$ es diu σ-aditiva o aditiva numerable si quan $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒜$ és una successió de conjunts disjunts dos a dos, es té:

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_n)$.

Qualsevol funció σ-aditiva és aditiva pero no viceversa.

Vore també

• mida firmada
• mida (matemàtiques)
• mapa aditiu
• funció subaditiva
• mida σ-finita
• Teorema de Hahn-Kolmogorov
• τ-aditivitat