Contingut (teoria de la mida)

En matemàtiques, en particular en teoria de la mida, un contingut $\mu$ és una funció de valor real definida en una colecció de subconjunts $𝒜$ tal que

1. $\mu (A)\in [0,\mathrm{\infty }]\text{ whenever }A\in 𝒜.$
2. $\mu (\varnothing )=0.$
3. $\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mu (A_i)\text{ whenever }{A}_1,\dots ,A_n,\bigcup _{i=1}^n{A}_i\in 𝒜\text{ and }{A}_i\cap A_j=\varnothing \text{ for }i\ne j.$

És dir, un contingut és una generalisació d'una mida: mentres que esta última deu ser contablemente aditiva, la primera només deu ser finitamente aditiva.

En moltes aplicacions importants el $𝒜$ s'elegix per a que siga un anell de conjunts o que siga a lo manco un semianillo de conjunts, en el cas dels quals es poden deduir algunes propietats adicionals que es descriuen a continuació. Per este motiu alguns autors preferixen definir continguts només per al cas de semianillos o inclús anells.

Si un contingut és adicionalment σ -aditiu es diu premedida i si ademés $𝒜$ és una σ -àlgebra, el contingut es diu mida. Per tant, tota mida (de valor real) és un contingut, pero no al revés. Els continguts donen una bona noció de cóm integrar funcions acotades en un espai, pero poden comportar-se mal quan s'integren funcions illimitades, mentres que les mides donen una bona noció de cóm integrar funcions illimitades.

Eixemples

Un eixemple clàssic és definir un contingut en tots els intervals mig oberts. $[a,b)\subseteq ℝ$ establint el seu contingut a la llongitut dels intervals, és dir, $\mu ([a,b))=b-a.$ Ademés, es pot demostrar que este contingut és en realitat σ -aditiu i, per tant, definix una mida prèvia en el semianillo de tots els intervals semiabiertos. Açò es pot utilisar per a construir la mida de Lebesgue per a la recta numèrica real utilisant el teorema d'extensió de Carathéodory. Per a obtindre més detalls sobre la construcció general, consulte l'artícul sobre la mida de Lebesgue.

Un eixemple d'un contingut que no és una mida en un σ -àlgebra és el contingut de tots els subconjunts de sancers positius que té valor. $1/2^n$ en qualsevol número entero $n$ i és infinit en qualsevol subconjunt infinit.

A continuació, es pot donar un eixemple d'un contingut dels número entero positius que sempre és finito pero que no és una mida. Prenga una funcional llineal positiva en les seqüències acotades que siga 0 si la seqüència té solament un número finito d'elements distints de zero i pren el valor 1 en la seqüència $1,1,1,\dots ,$ llavors lo funcional en algun sentit dona un "valor promig" de qualsevol seqüència acotada. (Tal funcional no pot construir-se explícitament, pero existix segons el teorema de Hahn-Banach). Llavors, el contingut d'un conjunt d'número entero positius és el valor promig de la seqüència que és 1 en este conjunt i 0 en atres llocs. Informalment, es pot pensar en el contingut d'un subconjunt d'número entero com la "provabilitat" de que un número entero elegit aleatoriamente es trobe en este subconjunt (encara que açò no és compatible en les definicions habituals d'encert en la teoria de la provabilitat, que suponen aditividad contable).

Propietats

En freqüència, els continguts es definixen en coleccions de conjunts que satisfan restriccions adicionals. En este cas, es poden deduir propietats adicionals que no es complixen en general per als continguts definits en qualsevol colecció de conjunts.

en semianillos

Si $𝒜$ forma un Semiring de conjunts llavors es poden deduir les següents afirmacions:

• Cada contingut $\mu$ és monòton, és dir, $$A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\le \mu (B)\text{ for }A,B\in 𝒜.$$
• Cada contingut $\mu$ és subaditivo és dir,

$\mu (A\cup B)\le \mu (A)+\mu (B)$ per a $A,B\in 𝒜$ tal que $A\cup B\in 𝒜.$

en anells

si ademés $𝒜$ és un Anell de conjunts un obté, ademés:

• Sustractividad : per a $B\subseteq A$ satisfactori $\mu (B)<\mathrm{\infty }$ seguix $\mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B).$
• $A,B\in 𝒜\Rightarrow \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).$
• Subaditividad : $A_i\in 𝒜(i=1,2,\dots ,n)\Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)\le \sum _{i=1}^n\mu (A_i).$
• $\sigma$ -Superaditividad : Per a qualsevol $A_i\in 𝒜(i=1,2,\dots )$ satisfactori per parells disjunto $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in 𝒜$ tenim $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\ge \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i).$

• Si $\mu$ és un contingut finito, és dir, $A\in 𝒜\Rightarrow \mu (A)<\mathrm{\infty },$ llavors s'aplica el principi d'inclusió-exclusió: $$\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{I\subseteq \{1,\dots ,n\},}{|I|=k}}\mu \left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)$$