Teorema de Hahn–Banach

En matemàtiques, la teorema de Hahn–Banach és una ferramenta important en anàlisis funcional. Permet estendre qualsevol funcional llineal acotada definit en un subespacio vectorial a l'espai vectorial que ho conté. Deu el seu nom a Hans Hahn i Stefan Banach els qui varen provar esta teorema independentment en la década de 1920.

La teorema apareix en la lliteratura en formes diverses, tant analítiques com a geomètriques.

La teorema de Hahn-Banach (forma analítica)

Un funcional sublineal en un espai vectorial $V$ sobre un cos $𝕂$ (que pot ser els número real $ℝ$ o complexos $ℂ$) és una funció $p:V\to ℝ$ que verifica:

$p(ax+by)\le |a|p(x)+|b|p(y)\mathrm{\forall }x,y\in V\mathrm{\forall }a,b\in 𝕂.$

Eixemples de funcionals sublineales són qualsevol norma vectorial i seminorma.

Llavors la forma analítica de la teorema de Hahn–Banach establix que si $p:V\to 𝕂$ és un funcional sublineal, i $f:S\to 𝕂$ és un funcional llineal definit en un subespacio vectorial $S$ de $V$ que està acotat per $p$ sobre $S$ i.i..

$|f(x)|\le p(x)\mathrm{\forall }x\in S$

llavors existix una extensió llineal $\hat{f}:V\to 𝕂$ de f a tot l'espai $V$ i.i. existix un funcional llineal $\hat{f}$ tal que

$\hat{f}(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in S$

i

$|\hat{f}(x)|\le p(x)\mathrm{\forall }x\in V.$

L'extensió $\hat{f}$ no és en general única i la demostració, que utilisa el lema de Zorn, no dona cap método per a trobar $\hat{f}$.

Conseqüències

La teorema té numeroses conseqüències, que a voltes es diuen també "teorema de Hahn-Banach":

• Hahn-Banach per a espais normados. Qualsevol funcional llineal continu f definit en un subespacio d'un espai vectorial normado té una extensió contínua $\hat{f}$ a tot l'espai tal que el funcional i la seua extensió tenen la mateixa norma.
• Hahn-Banach (primera forma geomètrica). Sean A i B dos subconjunts convexos, no buits i disjuntos d'un espai vectorial normado sobre $ℝ$, sent a lo manco un dels dos subconjunts obert. Llavors existix un hiperplano tancat que separa A i B en sentit ampli.
• Hahn-Banach (segona forma geomètrica). Sean A i B dos subconjunts convexos, no buits i disjuntos d'un espai vectorial normado sobre $ℝ$, sent a lo manco un dels dos subconjunts tancat i l'atre compacte. Llavors existix un hiperplano tancat que separa A i B en sentit estricte.

Referències

• Brézis, Haïm (1984). Anàlisis funcional: Teoria i aplicacions, Aliança Editorial.