Lema de Zorn

Max Zorn, fotografiat en 1930.

El lema de Zorn, també cridat de Kuratowski-Zorn, és una proposició de la teoria de conjunts que afirma lo següent:

Demostració a partir de l'axioma d'elecció

l'axioma d'elecció diu que donada una família (possiblement infinita) de conjunts no buits podem definir una aplicació que prenga un element de cada conjunt:

$\mathrm{\forall }A:\mathrm{\varnothing }\in ̸A⟹\mathrm{\exists }(f:A\to \bigcup A):\mathrm{\forall }B\in A,f(B)\in B$.

En este axioma podem demostrar el lema de Zorn:

Siga que $X$ el conjunt parcialment ordenat de l'enunciat. Suponem que $X$ no té cap element maximal i aplegarem a contradicció.

Per hipòtesis, elegim tots els subconjunts $A\subseteq X$ totalment ordenat que posseïx una cota superior. Per l'axioma d'elecció podem definir una funció $g$ que donat cada u d'estos subconjunts torne la seua cota superior. Ademés, com estem suponent que $X$ no té cap element maximal, es pot demanar que la cota de cada u d'estos subconjunts no estiga dins del subconjunt. És dir, dau $A\subseteq X$ totalment ordenat, $g(A)\in X\setminus A$ nos dona una cota superior. Per a cada $A\subseteq X$ i $a\in A$, denotem $A_{<a}=\{x\in A:x<a\}$ (notem que, en particular, $a\notin A_{<a}$)

Direm que $A\subseteq X$ és un $g$-conjunt si:

(i) És totalment ordenat.

(ii) No conté seqüències infinitament descendents, és dir, no existixen seqüències $a_1>a_2>\dots$ infinites en $A$.

(iii) Per a cada $a\in A$, $g(A_{<a})=a$ (està ben definit perque $a\notin A_{<a}$).

Observem que:

• El conjunt buit és trivialmente un $g$-conjunt.
• Si $A$ és un $g$-conjunt, llavors $A\cup \{g(A)\}$ també ho és. $(1)$

Afirmem que si $A,B\subseteq X$ són $g$-conjunts diferents, llavors $A=B_{<b}$ per a cert $b\in B$ o be $B=A_{<a}$ per a cert $a\in A$. $(2)$ Plantilla:Demostració

Siga ara $E=\bigcup _{\underset{Ag\text{-conjunto}}{A\subseteq X}}A$. Llavors, $\mathrm{\forall }a\in E$, si $A$ és un $g$-conjunt que conté a $a$, tenim que $A_{<a}=E_{<a}$.$(3)$

Per últim, $E$ és un $g$-conjunt.$(4)$

Per tant, $E$ és, per definició i per $(4)$, el $g$-conjunt més gran, pero $g(E)\notin E$ i, per $(1)$, $E\cup \{g(E)\}$ és un $g$-conjunt més gran que $E$, lo que és contradictori. La contradcción prové d'haver supost que $X$ no té cap element maximal. Per tant, sí que té, que és lo que volíem demostrar. $◻$

Usant inducció transfinita

Siga $X$ un conjunt parcialment ordenat tal que tota cadena en $X$ posseïx una cota superior; es pretén demostrar que deu existir un element maximal en $X$. L'idea de la demostració és construir una successió d'elements $a_0<a_1<a_2<\dots$ fins que s'alcance un element maximal. Partint d'un element qualsevol (pero fix) $a_0$, o be no hi ha cap element $b$ tal que $a_0<b$, en el cas del qual $a_0$ és maximal, o be sí existixen elements $b$ per damunt de $a_0$, per lo que es pot triar un element tal, denotat $a_1$. Repetint el raonament, o be $a_1$ és maximal, o be existix una cota $a_2$ superior a $a_0$ i a $a_1$. Continuant de la mateixa manera, deuria aplegar-se a un element maximal; l'objectiu és fer-ho de forma rigorosa.

Per l'axioma d'elecció, existix una funció $f$ que assigna a cada subconjunt no buit $A\subseteq X$ un element $f(A)\in A$. Siga ara un element $a_0\in X$. Es definix el conjunt $S_1=\{b:a_0<b\}$ de cotes superiors del conjunt $\{a_0\}$: si $S_1$ és buit, llavors $a_0$ és maximal en $X$; en cas contrari, es definix $a_1=f(S_1)$, de manera que $a_0<a_1$. De la mateixa manera es pot definir inductivamente un element $a_{\alpha }$ per a cada ordinal $\alpha$: si $a_{\alpha }$ no és maximal, llavors es definix $a_{\alpha +1}=f(S_{\alpha +1})$ a on $S_{\alpha +1}=\{b:a_{\alpha }<b\}$ és el conjunt de cotes superiors del conjunt $\{a_{\alpha }\}$; si $\alpha$ és un ordinal llímit, llavors el conjunt $C_{\alpha }=\{a_{\beta }:\beta <\alpha \}$ és una cadena en $X$ i el conjunt $S_{\alpha }$ de cotes superiors de $C_{\alpha }$ és no buit, per lo que $a_{\alpha }=f(S_{\alpha })$.

Tant si $\alpha$ és un ordinal successor o un ordinal llímit, es té que $a_{\beta }<a_{\alpha }$ para tot $\beta <\alpha$, per lo que el conjunt de tots els $a_{\alpha }$ és tan gran com el conjunt d'ordinals menors o iguals que $\alpha$. Ya que els ordinals no constituïxen un conjunt sino una classe, este procés deu detindre's en algun moment, aplegant a un ordinal $\theta$ tal que $\{a_{\theta }\}$ no tinga cotes superiors i no es puga definir $a_{\theta +1}$. En eixe cas, $a_{\theta }$ és un element maximal de $X$.

Conseqüències

De la mateixa manera que el teorema del bon orde, el lema de Zorn és equivalent al axioma d'elecció, en el sentit de que qualsevol d'ells, junt en els axioma de Zermelo-Fraenkel, basta per a provar els atres. Apareix en les demostracions de vàries teoremes importants, tals com el teorema de Hahn-Banach en anàlisis funcional, la teorema de que tot espai vectorial té una base, el teorema de Tychonoff en topología, i les teoremes en àlgebra abstracta que afirmen que tot anell en element unitari té un ideal maximal i que tot cos té clausura algebraica.

Bibliografia

• Jinpeng An, A proof of Zorn's lemma, disponible en [1] (en anglés).

Vore també

• Axioma de Zermelo-Fraenkel
• Axioma d'elecció
• Axioma de Von Neumann-Bernays-Gödel
• Principi maximal de Hausdorff
• Teoria axiomàtica de conjunts
• Max Zorn