Teorema del bon orde

En matemàtica, la teorema del bon orde establix que tot conjunt pot ser ben ordenat. Un conjunt X està ben ordenat per un orde estricte si tot subconjunt no buit de X té un element mínim baix dit orde. També es coneix com a teorema de Zermelo i és equivalent al axioma d'elecció. Ernst Zermelo va introduir l'axioma d'elecció com un "principi llògic irrefutable" per a demostrar la teorema del bon orde. Açò és important perque fa susceptible a tot conjunt a la poderosa tècnica d'inducció transfinita. La teorema del bon orde té conseqüències que poden semblar paradòxiques, com per eixemple la paradoxa de Banach–Tarski.

Història

Georg Cantor va considerar la teorema del bon orde com un "principi fonamental de pensament". La majoria dels matemàtics no obstant troben difícil visualisar un bon orde de, per eixemple, el conjunt $ℝ$ de número real. En 1904, Gyula Kőnig va anunciar haver demostrat que semblant bon orde no pot existir. Poques semanes despuix, Felix Hausdorff va detectar un error en la demostració. Aixina i tot va resultar que la teorema del bon orde és equivalent a l'axioma d'elecció, en el sentit de que cada u junt en els axioma de Zermelo-Fraenkel és suficient per a demostrar l'atre, en llògica de primer orde (lo mateixa aplica al lema de Zorn). En llògica de segon orde, no obstant, la teorema del bon orde és més estricte que l'axioma d'elecció: de la teorema del bon orde es deduïx l'axioma d'elecció, pero de l'axioma d'elecció no es pot deduir la teorema del bon orde.

Enunciat i idea de la demostració

Para tot conjunt $X$, existix un bon orde en domini $X$.

La teorema del bon orde s'obté del lema de Zorn. Prenga's el conjunt $A$ de tots els bons órdens de subconjunts de $X$: un element de $A$ és un parell ordenat $(a,b)$ en el que $a\subset X$ i $b$ és un bon orde de $a$. $A$ pot ser parcialment ordenat a continuació. Això implica, definixca's $E⩽F$ si $E$ és un segment inicial de F i l'orde dels membres d'I és el mateix que la seua orde en $F$. Si $E$ és una cadena en $A$, l'unió dels conjunts de $E$ pot ordenar-se de forma tal que ho transforma en una prolongació de cada conjunt de $E$; eixe orde és un bon orde i, per tant, una cota superior de $E$ en $A$. Podem, puix, aplicar el lema de Zorn per a concloure que $A$ té un element maximal, per eixemple $(M,R)$. El conjunt $M$ deu ser igual a $X$, perque si $X$ té un element $x\in ̸M\Rightarrow M\cup \left\{x\right\}$ té un bon orde restringit a $R$ en $M$, i per al qual $x$ és major que tots els elements de $M$. Este conjunt ben ordenat és una prolongació de $(M,R)$, contradient la seua maximalidad, de modo que $M=X$. Per tant $R$ és un bon orde de $X$.

L'axioma d'elecció pot deduir-se de la teorema del bon orde de la següent forma. Per a crear una funció d'elecció per a una colecció de conjunts no buits, $E$, prenga's l'unió de tots els conjunts en $E$ i cride-li-la $X$. Existix un bon orde de $X$; suponga que $R$ és tal orde. La funció que a cada conjunt $S\in E$ li associa l'element més chicotet de $S$, ordenat per (la restricció de $S$ a) $R$ és una funció d'elecció para $E$. Un punt essencial d'esta deducció és que solament fa referència a una elecció senzilla arbitrària, la de $R$; aplicar la teorema del bon orde a cada membre $S\in E$ no funcionaria, ya que la teorema solament afirma l'existència d'un bon orde, i elegir para tot membre $S$ un bon orde no seria més fàcil que triar un element.

Vore també

• Principi del bon orde
• Axioma d'elecció