Ordinal llímit

Representació dels números ordinals fins a ω^ω. Cada regrés de l'espiral representa una potència de ω. Els ordinals llímit són aquells que són distints de zero i no tenen predecessor, com ω o ω²

En teoria de conjunts, un ordinal llímit és un número ordinal que no és ni zero ni un ordinal successor. Alternativament, un ordinal λ és ordinal llímit si hi ha un ordinal menor que λ i, sempre que β siga un ordinal menor que λ, llavors existix un ordinal γ tal que β < γ < λ. Cada número ordinal és zero, o un ordinal successor, o un ordinal llímit.

Per eixemple, ω, l'ordinal més chicotet major que cada número natural, és un ordinal llímit perque per a qualsevol ordinal n més chicotet (és dir, per a qualsevol número natural) podem trobar un atre número natural major que ell (per eixemple, n+1), que encara és menor que ω.

Usant la definició d'ordinals de Von Neumann, cada ordinal és el conjunt ben ordenat de tots els ordinals més menuts que ell mateixa. L'unió d'un conjunt no buit d'ordinals que no té cap element màxim és llavors sempre un ordinal llímit. Usant l'assignació cardinal de von Neumann, cada número cardinal infinit és també un ordinal llímit (el recíproc no és cert ya que hi ha ordinals llímit que no són cardinals, per eixemple, ω·n (n > 0), ω², ω³, ω^ω o els números épsilon).

Definicions alternatives

Vàries atres formes de definir ordinals llímit són:

• És igual al suprem de tots els ordinals baix d'ell, pero no és zero. (Compare's en un ordinal successor: el conjunt d'ordinals baix d'ell té un màxim, per lo que el suprem és este màxim, l'ordinal anterior).

No és zero i no té element màxim. Es pot escriure en la forma ωα per a α > 0. És dir, en la forma normal de Cantor no hi ha un número finito com a últim terme, i l'ordinal és distint de zero. És un punt llímit de la classe de números ordinals, sobre la topología d'orde (els atres ordinals són punts aïllats). Existix certa controvèrsia sobre si 0 deu classificar-se o no com un ordinal llímit, ya que no té un predecessor immediat; alguns llibres de text inclouen 0 en la classe d'ordinals llímit mentres que uns atres ho exclouen.

Eixemples

Degut a que la classe dels números ordinals és una classe ben ordenada, hi ha un ordinal de llímit infinit més menut; denotat per ω. l'ordinal ω és també l'ordinal infinit més chicotet (sense tindre en conte el "llímit"), ya que és el llímit superior mínim dels número natural. Per lo tant, ω representa el tipo d'orde dels número natural. El següent ordinal llímit per damunt del primer és ω + ω = ω·2, que es generalisa a ω·n per a qualsevol número natural n. Prenent l'unió (l'operació de prendre el suprem en qualsevol conjunt d'ordinals) de tots els ω·n, obtenim ω· ω = ω², que es generalisa a ωⁿ per a qualsevol número natural n. Este procés es pot iterar de la següent manera per a produir:

En general, totes estes definicions recursivas a través de multiplicació, exponenciación, exponenciación repetida, etc. produïxen ordinals llímit. Tots els ordinals discutits fins ara seguixen sent ordinals numerables. No obstant, no existix un esquema recursivamente enumerable per a nomenar sistemàticament tots els ordinals menors que l'ordinal de Church-Kleene, que és un ordinal numerable.

Més allà del numerable, el primer ordinal no numerable generalment es denota ω₁. També és un ordinal llímit. Continuant, es pot obtindre lo següent (tots els quals ara estan aumentant en cardinalidad):

En general, sempre obtenim un ordinal llímit quan prenem l'unió d'un conjunt no buit d'ordinals que no té cap element màxim.

Els ordinals de la forma ω²α, per a α > 0, són llímits de llímits, etc.

Vore també

• Aritmètica ordinal
• Cardinal llímit
• Successió fonamental (ordinals)

Bibliografia

• Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
• Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
• Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also definixes ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.