Cardinal llímit

En teoria de conjunts, els cardinals llímit són un tipo especial de cardinals:

• Un número cardinal λ és un cardinal llímit dèbil si λ no és ni un cardinal successor ni zero. Açò significa que un no pot "aplegar" a λ per un procés reiterat de buscar el número cardinal següent (per eixa raó tots els número natural no són cardinals llímits, ya que es pot aplegar a ells a partir d'un número anterior reiterativamente). Estos cardinals a voltes es diuen simplement "cardinals llímits" quan el context està clar.
• Un número cardinal és un cardinal llímit fort si λ no pot ser alcançat per mig d'aplicacions reiterades d'exponenciación. Açò significa que λ > 0 i que, per a tot κ < λ, 2^κ < λ. Tot cardinal llímit fort és també un cardinal llímit dèbil, perque κ⁺ ≤ 2^κ per a qualsevol cardinal κ, a on κ⁺ designa el successor del cardinal κ.

El primer cardinal infinit, ${\mathrm{\aleph }}_0$ (álef 0), és un cardinal llímit fort i per tant també un cardinal llímit dèbil.

Construccions en cardinals llímit

Una manera de construir cardinals llímit és per mig de l'operació d'unió. Per eixemple, álef omega ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ és un cardinal llímit dèbil, definit com l'unió de tots els álef més chicotets que ell (recorde's que un número cardinal pot concebre's com un conjunt transitivo); i en general ${\mathrm{\aleph }}_{\lambda }$ per a qualsevol ordinal llímit és un cardinal llímit dèbil.

La funció ב pot usar-se per a obtindre cardinals llímit forts. Esta funció es definix com una aplicació dels ordinals en els cardinals per mig de la següent definició recursiva:

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0,$

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }},$ (és l'ordinal no numerable més menut)

Si λ és un oridinal llímit, ${\beth }_{\lambda }=\bigcup \{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

El cardinal

${\beth }_{\omega }=\bigcup \{{\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,\dots \}=\bigcup _{n<\omega }{\beth }_n$

és un cardinal llímit fort de cofinalidad ω. Més en general, donat qualsevol ordinal α, el cardinal

${\beth }_{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }{\beth }_{\alpha +n}$

és un cardinal llímit fort. I per tant, existixen cardinals llímit fort arbitrariamente grans.

Vore també

• Cardinal inaccessible
• Cardinal regular

Referències

Bibliografia

• Jech, Thomas(2003).«Set Theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:doi:10.1007/3-540-44761-X.
• Kunen, Kenneth(1980).«Set theory: An introduction to independence proofs».Elsevier.

Enllaços externs

• Infinite ink on cardinals