Números épsilon

En matemàtiques, els números épsilon o números ε són una colecció de números transfinitos la propietat dels quals definitoria és que són punts fixos de l'aplicació exponencial definida sobre els números ordinals. En conseqüència, no són alcanzables des de 0 a través d'una série finita d'aplicacions de l'aplicació exponencial o d'operacions “més dèbils” com la suma i la multiplicació. Els números épsilon originalment varen ser introduïts per Georg Cantor en el context de l'aritmètica ordinal. En eixe context, els números épsilon són precisament números ordinals ε que satisfan l'equació:

en el que ω és l'ordinal infinit més menut.

Explicació

El menor ordinal épsilon es designa com ε₀ (pronunciat “épsilon zero”), que pot ser vist com el "llímit" obtingut per recursión transfinita de la successió d'ordinals llímit més menuts:

a on $\sup$ és la funció suprem, que és equivalent a unió de conjunts en el cas de la representació de Von Neumann d'ordinals.

Els punts fixos ordinals més grans de l'aplicació exponencial s'indexen per mig de subíndexs ordinals, lo que resulta en ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_{\omega },{\epsilon }_{\omega +1},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_0},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_1},\dots ,{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_{{\cdot }_{{\cdot }_{\cdot }}}}},\dots$. L'ordinal ε₀ seguix sent numerable, de la mateixa manera que qualsevol número épsilon l'índex del qual és numerable (existixen ordinals incontables i números épsilon incontables l'índex dels quals és un ordinal incontable).

El número épsilon més chicotet ε₀ apareix en moltes demostracions per inducció transfinita, perque para molts propòsits, l'inducció transfinita solament es requerix aplegar fins a ε₀ (com en la demostració de consistència de Gentzen o la demostració del teorema de Goodstein). El seu us per Gerhard Gentzen per a demostrar la consistència d'aritmètica de Peano, junt en el segona teorema de incompletitud de Gödel, mostren que dins de l'aritmètica de Peano no es pot demostrar la ben fundada d'este ordenament (de fet, és l'ordinal més chicotet en esta propietat i, com a tal, en la teoria de la demostració i l'anàlisis ordinal, s'usa com una mida de la “força” de la teoria de l'aritmètica de Peano).

Es poden definir molts números épsilon més grans usant la funció de Veblen.

Una classe més general de números épsilon ha segut identificada per John Horton Conway i Donald Knuth en el sistema de números surrealistes, que consistix en tots els surrealista que són punts fixos de l'aplicació exponencial base ω x → ω^x.

Hessenberg (1906) va definir els números gamma (vore ordinal aditivamente indescomponible) com a números γ>0 tals que α+γ=γ sempre que α<γ, i els números delta (vore ordinals multiplicativamente indescomponibles) com a números δ>1 tals que αδ=δ sempre que els números 0<α<δ, i épsilon siguen números ε>2 tals que α^ε= ε sempre que 1< α < ε. Els seus números gamma són els de la forma ω^β, i els seus números delta són els de la forma ω^ωβ.

Representació de ε₀ per arbres en raïl

Qualsevol número épsilon ε admet una forma normal de Cantor $\epsilon ={\omega }^{\epsilon }$, lo que significa que la forma normal de Cantor no és molt útil per a distinguir els diferents números épsilon. Els ordinals menors que ε₀, no obstant, poden ser descrits adequadament per les seues formes normals de Cantor, lo que conduïx a una representació de ε₀ com el conjunt ordenat de tots els arbres de raïl finita, de la següent manera: qualsevol ordinal $\alpha <{\epsilon }_0$ té la forma normal de Cantor

$\alpha ={\omega }^{{\beta }_1}+{\omega }^{{\beta }_2}+\cdots +{\omega }^{{\beta }_k}$

a on k és un número natural i ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$ són ordinals en $\alpha >{\beta }_1\ge \cdots \ge {\beta }_k$, unívocamente determinats per $\alpha$. Cada u dels ordinals ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$ a la seua volta admeten de la mateixa manera una forma normal de Cantor. Obtenim l'arbre de raïls finitas que representa α unint les raïls dels arbres que representen ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$ a una nova raïl. Açò té la conseqüència de que el número 0 està representat per una sola raïl, mentres que el número $1={\omega }^0$ està representat per un arbre que conté una raïl i un sol full. Ara es definix recursivamente un orde en el conjunt d'arbres de raïls finitas: primer ordenem els subárboles units a la raïl en orde decreixent, i després usem orde lexicogràfic en estes successions ordenades de subárboles. D'esta manera, el conjunt de tots els arbres en raïls finitas es convertix en un conjunt ben ordenat que és isomorfo d'orde a ε₀.

Referències

Bibliografia

• J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
• Section XIV.20 of