Forma normal de Cantor

Es diu que un número està expressat en la forma normal de Cantor en base b si ho representem com sumixca de potències de la base b, pero representem també cada u dels exponents com sumixca de potències. Vejam un eixemple concret:

L'expressió del número 266 en forma normal de Cantor en base 2 és la següent

$266=2^8+2^3+2=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2$

Números ordinals

La forma normal de Cantor també es pot aplicar a números ordinals transfinitos, en particular qualsevol ordinal (finit o infinit) $\alpha >0$ pot expressar-se com una suma finita:

sent $\omega$ el primer ordinal infinit, $n\ge 1$, $\alpha \ge {\beta }_1>{\beta }_2>\dots >{\beta }_n$ i $k_1,k_2,\dots ,k_n$ número natural diferents de zero. Note's que l'orde la suma i la multiplicació són importants ya que en ordinals infinits pot donar-se el cas de que $\alpha +\beta \ne \beta +\alpha$ o $\alpha \cdot \beta \ne \beta \cdot \alpha$, per eixemple:

Ademés en a fòrmula pot donar-se el cas de $\alpha ={\beta }_1$, és dir:

En particular, tots els números épsilon admeten una representació d'esta forma.

Vore també

• Successió de Goodstein

Referències

Bibliografia

• Tomáš Jech, Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded, 2006, Springer Science & Business Mija, ISBN 3-540-44085-2. 1st ed. 1978; 2nd (corrected) ed. 1997