Paradoxes en la teoria de conjunts

Este artícul conté una discussió sobre les paradoxes en la teoria de conjunts. Com ocorre en la majoria de les paradoxas matemàtiques, generalment revelen resultats sorprenents i contraris a l'intuïció, en lloc de contradiccions llògiques reals dins de la teoria de conjunts moderna.

Conjunt potència

Conceptes bàsics

Número cardinal

La teoria de conjunts, tal com era concebuda per Georg Cantor, supon l'existència de conjunts infinits. Com esta suposició no pot demostrar-se a partir de primers principis, es va introduir per mig del axioma de l'infinit, que afirma l'existència del conjunt N dels número natural. Tot conjunt infinit que pot enumerar-se per mig de número natural té el mateix tamany (cardinalidad) que N i es diu que és numerable (o contable). Eixemples de conjunts numerables infinits són els número natural, els número par, els número primo i també tots els número racional, és dir, les fraccions. Estos conjunts tenen en comú el cardinal |N| = ${\mathrm{\aleph }}_0$ (aleph-sub zero), un número major que tot número natural.

Els número cardinal es poden definir de la següent manera. Es definixen dos conjunts per a que "tinguen el mateix tamany" per mig del criteri següent: existix una funció biyectiva entre els dos conjunts (és dir, existix una correspondència un a un entre els elements d'un i de l'atre). Llavors, un número cardinal és, per definició, una classe que consta de "tots" els conjunts del mateix tamany. Tindre el mateix tamany és una relació d'equivalència, i els número cardinal són les classes d'equivalència.

Números ordinals

Ademés de la cardinalidad, que descriu el tamany d'un conjunt, els conjunts ordenats també formen part de la teoria de conjunts. l'axioma d'elecció garantisa que tot conjunt pot tindre un bon orde, lo que significa que es pot impondre un orde total als seus elements de modo que cada subconjunt no buit tinga un primer element sobre eixe orde. L'orde d'un conjunt ben ordenat es descriu per mig d'un ordinal. Per eixemple, 3 és el número ordinal del conjunt {0, 1, 2} en l'orde habitual 0 < 1 < 2; i ω és el número ordinal del conjunt de tots els número natural ordenats de la forma habitual. Despreciant l'orde, queda el número cardinal |N| = |ω| = ${\mathrm{\aleph }}_0$.

Els números ordinals es poden definir en el mateix método que s'utilisa per als número cardinal. Es definixen dos conjunts ben ordenats per a que tinguen el mateix tipo d'orde per mig del criteri següent: existix una funció biyectiva entre els dos conjunts respectant l'orde: els elements més menuts s'assignen als elements més menuts. Llavors, un número ordinal és, per definició, una classe que consta de "tots" els conjunts ben ordenats del mateix tipo d'orde. Tindre el mateix tipo d'orde és una relació d'equivalència en la classe de conjunts ben ordenats, i els números ordinals són les classes d'equivalència.

Dos conjunts del mateix tipo d'orde tenen la mateixa cardinalidad. Ho contrarie no és cert en general per a conjunts infinits: és possible impondre diferents ordenaments al conjunt dels número natural que donen lloc a diferents números ordinals.

Hi ha un orde natural en els ordinals, que en sí mateixa és un bon ordenament. Donat qualsevol ordinal α, es pot considerar el conjunt de tots els ordinals menors que α. Este conjunt resulta tindre número ordinal α. Esta observació s'utilisa per a una forma diferent d'introduir els ordinals, en la que un ordinal es "equipa" en el conjunt de tots els ordinals més menuts. Esta forma de número ordinal és, per tant, un representant canònic de la forma anterior de classe d'equivalència.

Conjunt potencia

En formar tots els subconjunts d'un conjunt S (totes les possibles eleccions dels seus elements), s'obté el conjunt potencia P(S). Georg Cantor va demostrar que el conjunt potencia és sempre major que el conjunt, és dir, |P(S)| > |S|. Un cas especial de la teorema de Cantor demostra que el conjunt de tots els número real R no pot enumerar-se per mig de número natural. R és incontable: |R| > |N|.

Paradoxes dels conjunts infinits

En lloc de dependre de descripcions ambigües com "allò que no pot ampliar-se" o "aumentar sense llímits", la teoria de conjunts proporciona definicions del terme conjunt infinit per a donar un significat inequívoc a frases com "el conjunt de tots els número natural és infinit". De la mateixa manera que per a un conjunt finit, la teoria fa definicions adicionals que permeten comparar consistentemente dos conjunts infinits sobre si un conjunt és "major que", "menor que" o "del mateix tamany que" l'atre. Pero no totes les intuïcions relatives al tamany de conjunts finitos s'apliquen al tamany de conjunts infinits, lo que du a varis resultats aparentment paradòxics en relació en l'enumeració, el tamany, la mida i l'orde.

Paradoxes d'enumeració

Ans que s'introduïra la teoria de conjunts, la noció de "tamany" d'un conjunt havia segut problemàtica. Havia segut discutit per Galileo Galilei i Bernard Bolzano, entre uns atres. ¿Hi ha tants número natural com a quadrats de número natural medits pel método d'enumeració?

• La resposta és sí, perque per cada número natural n existix un número quadrat n², i lo mateix al revés.
• La resposta és no, perque els quadrats són un subconjunt dels naturals: tot quadrat és un número natural pero hi ha número natural, com el 2, que no són quadrats de número natural.

Definint la noció de tamany d'un conjunt en térmens del seu "cardinalidad", la qüestió pot resoldre's. Ya que hi ha un funció biyectiva entre els dos conjunts, la resolució es deduïx directament de la definició de la cardinalidad d'un conjunt.

Per a obtindre més informació sobre les paradoxes de l'enumeració, consulte's l'hotel infinit de Hilbert.

Je li vois, mais je ne crois pas

"Ho veig, pero no ho cree", va escriure Cantor a Richard Dedekind despuix de comprovar que el conjunt dels punts d'un quadrat té la mateixa cardinalidad que el dels punts d'una sola aresta del quadrat: el cardinal dels número real (també conegut com la cardinalidad del continu).

Açò demostra que el "tamany" dels conjunts definit únicament per la cardinalidad, no és l'única forma útil de comparar conjunts. El concepte de mida proporciona una teoria del tamany més matisada que s'ajusta a la nostra intuïció de que la llongitut i l'àrea són medides de tamany incompatibles.

L'evidència sugerix fortament que Cantor tenia prou confiança en el propi resultat, i que el seu comentari a Dedekind es referia més be a les seues preocupacions, llavors encara persistents, sobre la validea de la seua demostració. No obstant, l'observació de Cantor també serviria molt be per a expressar la sorpresa que tants matemàtics despuix d'ell han experimentat en trobar-se per primera volta en un resultat tan contrari a l'intuïció.

Paradoxes del bon orde

En 1904, Ernst Zermelo va demostrar per mig de l'axioma d'elecció (que va ser introduït per este motiu), que tot conjunt pot estar ben ordenat. En 1963, Paul Cohen va demostrar que en la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel sense l'axioma d'elecció no és possible demostrar l'existència d'un bon ordenament dels número real.

No obstant, la capacitat d'ordenar be qualsevol conjunt permet realisar certes construccions que s'han denominat paradòxiques. Un eixemple és la paradoxa de Banach-Tarski, una teorema àmpliament considerada no intuïtiu. Afirma que és possible descompondre una bola d'un radi fix en un número finit de peces i després moure i tornar a ensamblar eixes peces per mig de translacions i rotacions ordinàries (sense variar l'escala), per a obtindre dos còpies de la bola original. La construcció d'estes peces requerix de l'axioma d'elecció; les peces no són simples regions de la pilota, sino subconjunts complicats.

Vore també

• Prova d'impossibilitat
• Paradoxa de Berry

Bibliografia

• G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
• H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe, Springer, Berlin 1991.
• A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin 1923.
• A. A. Fraenkel, A. Levy: Abstract Set Theory, North Holland, Amsterdam 1976.
• F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea, New York 1965.
• B. Russell: The principles of mathematics I, Cambridge 1903.
• B. Russell: On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types, Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
• P. J. Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis, Benjamin, New York 1966.
• S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox, Cambridge University Press, Cambridge 1985.
• A. N. Whitehead, B. Russell: Principia Mathematica I, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, p. 64.
• E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung, Math. Ann. 65 (1908) p. 107-128.