Model de Solovay

En el camp matemàtic de teoria de conjunts, el model de Solovay és un model construït per Robert M. Solovay (1970) en el que tots els axioma de la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel es complixen, a excepció del axioma d'elecció, pero en el que tots els conjunts de número real són mesurables Lebesgue. La construcció se sustenta en l'existència d'un cardinal inaccessible.

D'esta forma Solovay va demostrar que l'axioma d'elecció és essencial per a la demostració de l'existència d'un conjunt no mesurable, i va garantisar que l'existència d'un cardinal inaccessible és consistent en ZFC, els axioma de Zermelo-Fraenkel incloent l'axioma d'elecció.

Afirmació

En ZF es denota la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel, i en DC l'axioma d'elecció depenent.

La teorema de Solovay diu com seguix. Assumint l'existència d'un cardinal inaccessible, existix un model intern a ZF+DC d'una extensió forcing adequada V[G] tal que tot conjunt de reals és mesurable Lebesgue, té la propietat de conjunt perfecte, i té la propietat de Baire.

Construcció

Solovay va construir el seu model en dos passos, començant en un model M de ZFC contenint un cardinal inaccessible κ.

El primer pas és prendre un colapse de Levy M[G] de M afegint un conjunt genèric G per a la noció de forcing que colapsa tots els cardinals menors que κ a ω. Llavors M[G] és un model de ZFC en la propietat de que tot conjunt de reals que és definible sobre una successió numerable d'ordinals és mesurable Lebesgue, i té la propietat de Baire i la de conjunt perfecte. Açò inclou tots els conjunts de reals definibles i proyectivos; no obstant, per raons relacionades en el teorema de indefinitud de Tarski la noció de conjunt definible de reals no es pot definir en el llenguage de teoria de conjunts, mentres que la noció de conjunt de reals definible sobre una successió numerable d'ordinals sí pot.

El segon pas és construir el model de Solovay N com la classe de tots els conjunts en M[G] que són hereditariamente definibles sobre una successió numerable d'ordinals. El model N és un model intern de M[G] que satisfà ZF + DC tal que tot conjunt de reals és mesurable Lebesgue, té la propietat de conjunt perfecte i té la propietat de Baire. Esta demostració fa us del fet de que tot real en M[G] és definible sobre una successió numerable d'ordinals, i per tant N i M[G] tenen els mateixos reals.

En lloc d'usar el model de Solovay N, es pot usar també el model intern més chicotet L(R) de M[G], que consistix en la clausura constructible dels número real, que té propietats similars.

Referències

• (1970).«A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable».Annals of Mathematics.92

1–56.ISSN 0003-486X.

• (1957).«Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)».Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik.3

173–210.ISSN 0044-3050.doi:10.1002/malq.19570031302.

• (1985).«Li problème de la mesure».Astérisque.(121)

325–346.ISSN 0303-1179.