Espai reflexiu

En el camp matemàtic del anàlisis funcional, un espai reflexiu és un espai de Banach (o de forma més general un espai vectorial topològic localment convexo) que coincidix en el dual continu del seu espai dual continu, com a espai vectorial i com espai topològic. Els espais de Banach reflexius se solen caracterisar per les seues propietats geomètriques.

Espais de Banach reflexius

Siga $X$ un espai vectorial normado sobre el cos numèric $𝔽=ℝ$ o $𝔽=ℂ$ (els número real o complexos), en una norma $\Vert \cdot \Vert$. Considerem el seu espai dual normado $X^{\prime }$, consistent en tots els seus funcionals llineals continus $f:X\to 𝔽$ i té assignada la norma dual $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$ definida per

$\Vert f{\Vert }^{\prime }=\sup \{|f(x)|:x\in X,\Vert x\Vert =1\}.$

El dual $X^{\prime }$ és un espai normado (en concret un espai de Banach), i el seu espai dual normado $X^{″}=(X^{\prime }{)}^{\prime }$ es diu espai bidual de $X$. El bidual consistix en tots els funcionals llineals continus $h:X^{\prime }\to 𝔽$ i té la norma $\Vert \cdot {\Vert }^{″}$ dual de $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$. Cada vector $x\in X$ genera una funció escalar $J(x):X^{\prime }\to 𝔽$ per la fòrmula:

$J(x)(f)=f(x),f\in X^{\prime },$

i $J(x)$ és un funcional llineal continu en $X^{\prime }$, açò és, $J(x)\in X^{″}$. S'obté d'esta manera una aplicació

$J:X\to X^{″}$

cridada aplicació d'evaluació, que és llineal. Se seguix de la teorema de Hahn-Banach que $J$ és inyectiva i preserva la norma:

$\mathrm{\forall }x\in X\Vert J(x){\Vert }^{″}=\Vert x\Vert ,$

açò és, $J$ du $X$ isométricamente en la seua image $J(X)$ en $X^{″}$. Ademés, l'image $J(X)$ és tancada en $X^{″}$, pero no té per qué ser igual a $X^{″}$.

Un espai normado $X$ es diu reflexiu si satisfà les següents condicions equivalents:

(i) l'aplicació d'evaluació $J:X\to X^{″}$ és suprayectiva,

(ii) l'aplicació d'evaluació $J:X\to X^{″}$ és un isomorfisme isomètric d'espais normados,

(iii) l'aplicació d'evaluació $J:X\to X^{″}$ és un isomorfisme d'espais normados.

Un espai reflexiu $X$ és un espai de Banach, ya que $X$ és llavors isomètric a l'espai de Banach $X^{″}$.

Observació

Un espai de Banach X és reflexiu si és linealment isomètric al seu bidual baix la incrustación canònica J. Un espai de James és un eixemple d'un espai no reflexiu que és linealment isomètric al seu bidual. Ademés, l'image de l'espai de James baix la incrustación canònica J té codimensión un en la seua bidual. Un espai de Banach X es diu cuasi-reflexiu (d'orde d) si el cocient X ′′ / J(X) té dimensió finita d.

Eixemples

1) Tot espai normado finito-dimensional és reflexiu, simplement perque en este cas, l'espai, el seu dual i bidual tenen tots la mateixa dimensió llineal, i per tant l'aplicació llineal inyectiva J per definició és biyectiva, per la teorema ranc-nulitat.

2) L'espai de Banach c₀ de successions escalares tendint a zero en l'infinit, associat a la norma del suprem, no és reflexiu. Se seguix de les propietats generals que ℓ¹ i ℓ^&#x221I; no són reflexius, ya que ℓ¹ és isomorfo al dual de c₀, i ℓ^&x221I; és isomorfo al dual de ℓ¹.

3) Tots els espais de Hilbert són reflexius, de la mateixa manera que els espais L^p en 1 < p < &x221I;. De forma més general, tots els espais de Banach uniformemente convexos són reflexius d'acort al teorema de Milman-Pettis. Els espais L¹(&x3BC;) i L^&x221I;(&x3BC;) no són reflexius (a menos que siguen finito-dimensionals, lo que ocorre per eixemple si &x3BC; és una medida en un conjunt finito). De forma similar, l'espai de Banach C([0, 1]) de funcions contínues en [0, 1] no és reflexiu.

4) Els espais S_p(H) d'operadors en la classe de Schatten en un espai de Hilbert H són uniformemente convexos, i per tant reflexius, quan 1 < p < &x221I;. Si la dimensió de H és infinita, llavors S₁(H) (la classe de traça) no és reflexiu, perque conté un subespacio isomorfo a ℓ¹, i S_&x221I;(H) = L(H) (els operadors llineals acotats en H) no és reflexiu, perque conté un subespacio isomorfo a ℓ^&x221I;. En abdós casos, es pot elegir el subespacio per a que els operadors siguen diagonals sobre una base ortonormal donada de H.

Propietats

Si un espai de Banach I és isomorfo a un espai de Banach reflexiu X, llavors I és reflexiu.

Tot subespacio vectorial tancat d'un espai reflexiu és reflexiu. El dual continu d'un espai reflexiu és reflexiu. Tot cocient d'un espai reflexiu per un subespacio tancat és reflexiu.

Siga X un espai de Banach. Els següents enunciats són equivalents:

1. L'espai X és reflexiu.
2. El dual continu de X és reflexiu.
3. La bola unitat tancada de X és compacta en la topología dèbil (açò es coneix com teorema de Kakutani).
4. Tota successió acotada en X té una subsucesión débilment convergent.
5. Tot funcional llineal continu en X té el seu màxim en la bola unitat tancada en X (teorema de James).

Ya que els subconjunts convexos tancats en norma en un espai de Banach són débilment tancats, se seguix de la tercera propietat que els subconjunts convexos acotats tancats d'un espai reflexiu X són débilment compactes. Aixina, per a tota successió decreixent de subconjunts convexos acotats tancats no buits, tota funció convexa contínua f sobre un subconjunt convexo tancat C de X, tal que el conjunt

$C_t=\{x\in C:f(x)\le t\}$

és no buit i acotat per a algun número real t, té el seu valor mínim en C.

La propietat geomètrica dels espais de Banach reflexius és la següent: si C és un subconjunt convexo no buit i tancat de l'espai reflexiu X, llavors per a tot x en X existix un c en C tal que ǁx − cǁ minimisa la distància entre x i els punts de C. Açò se seguix del resultat anterior per a funcions convexas aplicat a f(i) = ǁi − xǁ. Note's que mentres que la distància mínima entre x i C està unívocamente determinada per x, el punt c no ho està. El punt més propenc c és únic quan X és uniformemente convexo.

Un espai de Banach reflexiu és separable si i solament si el seu dual continu és separable. Açò se seguix del fet de que para tot espai normado I, la separabilidad del dual continu I ′ implica la separabilidad de I.

Espai superreflexivo

Informalment, un espai de Banach superreflexivo X té la següent propietat: donat un espai de Banach arbitrari I, si tots els subespacios finito-dimensionals de I tenen una còpia en X, llavors I és reflexiu. Per esta definició, l'espai X deu també ser reflexiu. Com a eixemple elemental, tot espai de Banach I que els seus subespacios bidimensionales són isomètrics a subespacios de X = ℓ² satisfan la llei del paralelogramo, per tant I és un espai de Hilbert i per tant reflexiu. Per tant, ℓ² és superreflexivo.

La definició formal no usa isometría, sino casi isometría. Un espai de Banach I és finitamente representable en un espai de Banach X si para tot subespacio finito-dimensional I₀ de I i tot &x3B5; &x3I; 0, existix un subespacio X₀ de X tal que la distància de Banach-Mazur multiplicativa entre X₀ i I₀ satisfà

$d(X_0,Y_0)<1+\epsilon .$

Un espai de Banach finitamente representable en ℓ² és un espai de Hilbert. Tot espai de Banach és finitamente representable en c₀. L'espai L^p([0, 1]) és finitamente representable en ℓ^p.

Un espai de Banach X és superreflexivo si tots els espais de Banach I finitamente representables en X són reflexius, o, en atres paraules, si cap espai no reflexiu I és finitamente representable en X. La noció d'ultraproducto d'una família d'espais de Banach permet una definició concisa: un espai de Banach X és superreflexivo si les seues ultrapotencias són reflexives.

James va provar que un espai és superreflexivo si i solament si el seu dual és superreflexivo.

Arbres finitos en espais de Banach

Una de les caracterisació de James de la superreflexividad usa arbres separats. La descripció d'un arbre vectorial binario escomença en un arbre binario en raïl etiquetat per vectores: un arbre d'altura n en un espai de Banach X és una família de 2^n + 1 − 1 vectores de X, que poden organisar-se en nivells successius, escomençant en el nivell 0 que consistix en un únic vector x_∅, la raïl de l'arbre, seguida, per a k = 1, …, n, per una família de 2^k vectores formant el nivell k:

$\{x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k}\},{\epsilon }_j=\pm 1,j=1,\dots ,k,$

que són els descendents dels vèrtiços del nivell k − 1. Ademés de l'estructura d'arbre, es requerix que cada vector que siga un vèrtiç intern de l'arbre siga el punt mig entre els seus dos descendents:

$x_{\mathrm{\varnothing }}=\frac{x_1+x_{-1}}{2},x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k}=\frac{x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k,1}+x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k,-1}}{2},1\le k<n.$

Dau un número real positiu t, es diu que l'arbre és t-separat si para tot vèrtiç intern els dos descendents són t-separats en la norma de l'espai donat:

$\Vert x_1-x_{-1}\Vert \ge t,\Vert x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k,1}-x_{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_k,-1}\Vert \ge t,1\le k<n.$

Teorema. Un espai de Banach X és superreflexivo si i solament si para tot t ∈ (0, 2], existix un número n(t) tal que tot arbre t-separat contingut en la bola unitat de X té altura menor quen(t).

Els espais uniformemente convexos són superreflexivos. Siga X uniformemente convexo, en mòdul de convexidad &x3B4;_X i siga t un número real en (0, 2]. Per les propietats del mòdul de convexidad, un arbre t-separat d'altura n, contingut en la bola unitat, deu tindre tots els punts del nivell n − 1 continguts en la bola de radi 1 − &x3B4;_X(t) &x3C; 1. Per inducció, se seguix que tots els punts del nivell n − j estan continguts en la bola de ràdio

$(1-{\delta }_X(t){)}^j,j=1,\dots ,n.$

Si l'altura n és lo prou gran per a que

$(1-{\delta }_X(t){)}^{n-1}<t/2,$

llavors els dos punts x₁, x₋₁ del primer nivell no poden ser t-separats, contràriament a la suposició. Açò dona el llímit requerit n(t), funció solament de &x3B4;_X(t).

Usant la caracterisació d'arbre, Enflo va provar que els espais de Banach superreflexivos admeten una norma uniformemente convexa equivalent. Els arbres en espais de Banach són un tipo especial de martingales evaluades en vectores. Afegint tècniques de teoria de martingales escalar, Pisier va millorar el resultat de Enflo demostrant que un espai superreflexivo X admet una norma uniformemente convexa equivalent per a la que el mòdul de convexidad satisfà, per a alguna constant c &x3I; 0 i algun número real q ≥ 2,

${\delta }_X(t)\ge c{t}^q,t\in [0,2].$

Espais localment convexos reflexius

La noció d'espai de Banach reflexiu es pot generalisar a espais vectorials topològics de la següent forma.

Siga $X$ un espai vectorial topològic sobre un cos numèric $𝔽$ (d'número real $ℝ$ o número complejo $ℂ$). Considere's el seu espai dual fort $X{\text{'}}_{\beta }$, que consistix en tots els funcionals llineals continus $f:X\to 𝔽$ i du associada la topología forta $\beta (X^{\prime },X)$,açò és, la topología de convergència uniforme sobre subconjunts acotats en $X$. L'espai $X{\text{'}}_{\beta }$ és un espai vectorial topològic (per a ser més precís, un espai localment convexo), de manera que es pot considerar el seu espai dual fort $(X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$, que es diu espai bidual fort de $X$. Consistix en tots els funcionals llineals continus $h:X{\text{'}}_{\beta }\to 𝔽$ i du associada la topología forta $\beta ((X{\text{'}}_{\beta }{)}^{\prime },X{\text{'}}_{\beta })$. Cada vector $x\in X$ genera una aplicació $J(x):X{\text{'}}_{\beta }\to 𝔽$ per la següent fòrmula:

$J(x)(f)=f(x),f\in X^{\prime }.$

Açò és un funcional llineal continu en $X{\text{'}}_{\beta }$, és dir, $J(x)\in (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$. S'obté una aplicació anomenada aplicació d'evaluació:

$J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }.$

Esta aplicació és llineal. Si $X$ és localment convexo, se seguix del teorema de Hahn-Banach que $J$ és inyectiva i oberta (açò és, per a tot entorn del zero $U$ en $X$ existix un entorn del zero $V$ en $(X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ tal que $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). Pero est pot ser no suprayectiva i/o discontínua.

Un espai localment convexo $X$ es diu

- semirreflexivo si l'aplicació d'evaluació $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ és suprayectiva,

- reflexiu si l'aplicació d'evaluació $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ és suprayectiva i contínua (en este cas $J$ és un isomorfisme d'espais vectorials topològics).

Teorema. Un espai de Hausdorff localment convexo $X$ és semirreflexivo si i solament si $X$ en la topología $\sigma (X,X^{*})$ té la propietat de Heine-Borel (açò és, els subconjunts acotats i débilment tancats de $X$ són débilment compactes).

Teorema. Un espai localment convexo $X$ és reflexiu si i solament si és semirreflexivo i tonelado.

Teorema. El dual fort d'un espai semirreflexivo és tonelado.

Eixemples

1) Tot espai vectorial topològic de Hausdorff finito-dimensional és reflexiu, ya que J és biyectiva per àlgebra llineal, i perque existix una única topología d'espai vectorial de Hausdorff en un espai vectorial finito-dimensional.

2) Un espai normado $X$ és reflexiu com a espai normado si i solament si és reflexiu com espai localment convexo. Açò se seguix del fet de que per a un espai normado $X$ el seu espai dual normado $X^{\prime }$ coincidix com espai vectorial topològic en l'espai dual fort $X{\text{'}}_{\beta }$. Com a corolari, l'aplicació d'evaluació $J:X\to X^{″}$ coincidix en l'aplicació d'evaluació $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$, i les següents condicions són equivalents:

(i) $X$ és un espai normado reflexiu (açò és, $J:X\to X^{″}$ és un isomorfisme d'espais normados),

(ii) $X$ és un espai localment compacte reflexiu (açò és, $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ és un isomorfisme d'espais vectorials topològics),

(iii) $X$ és un espai localment conexo semirreflexivo (açò és, $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ és suprayectiva).

3) Un eixemple (alguna cosa artificial) d'un espai semirreflexivo que no és reflexiu s'obté de la següent manera: siga I un espai de Banach reflexiu infinit-dimensional, i siga X l'espai vectorial topològic (I, &x3C3;(I, I ′)), açò és, l'espai vectorial I en la topología dèbil associada. Llavors el dual continu de X i I ′ és la mateixa classe de funcionals, i els subconjunts acotats de X (açò és, els subconjunts débilment acotats de I) són acotats en norma, després l'espai de Banach I ′ és el dual fort de X. Ya que I és reflexiu, el dual continu de X ′ = I ′ és igual a l'image J(X) de X baix la incrustación canònica J, pero la topología en X (la topología dèbil de I) no és la topología forta &x3B2;(X, X ′), que és igual a la topología de la norma de I.

4) Els espais de Montel són espais vectorials topològics localment convexos reflexius. En particular, els següents espais usats freqüentment en anàlisis funcional són espais localment convexos reflexius:

• l'espai $C^{\mathrm{\infty }}(M)$ de funcionals suaus en una varietat suau (real) arbitrària $M$, i el seu espai dual fort $(C^{\mathrm{\infty }}{)}^{\prime }(M)$ de distribucions en soport compacte en $M$,
• l'espai $𝒟(M)$ de funcions suaus en soport compacte en una varietat suau (real) arbitrària $M$, i el seu espai dual fort $𝒟\text{'}(M)$ de distribucions en $M$,
• l'espai $𝒪(M)$ de funcions holomorfas en una varietat complexa arbitrària $M$, i el seu espai dual fort $𝒪\text{'}(M)$ de funcions analítiques en $M$,

• l'espai de Schwartz $𝒮({ℝ}^n)$ on ${ℝ}^n$, i el seu espai dual fort $𝒮\text{'}({ℝ}^n)$ de distribucions temperadas en ${ℝ}^n$.

Vore també

• Espai de Grothendieck
• Àlgebra d'operadors reflexius

Referències

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• .
• .
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, {{{nom2}}} (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces, Rochester: Graylock Press.
• (1995) Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, pp. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.