Topología dèbil

Este artícul tracta sobre la topología dèbil en un espai vectorial normado. Per a la topología dèbil induïda per una família general d'aplicacions, vore topología inicial. Per a la topología dèbil generada per una cobertura d'un espai, vore topología coherent.

En matemàtiques, topología dèbil és un terme alternatiu per a certes topología inicials, a sovint associades a espais vectorials topològics o a espais d'aplicacions llineals, com per eixemple en un espai de Hilbert. El terme s'usa més comunament per a la topología inicial d'un espai vectorial topològic (com un espai vectorial normado) sobre el seu dual continu. El restant d'este artícul abordarà este cas, que és un dels conceptes propis del anàlisis funcional.

Es poden cridar subconjunts d'un espai vectorial topològic débilmente tancats (respectivament, débilmente compactes, etc.) si són tancats (respectivament, compactes, etc.) sobre la topología dèbil. De la mateixa manera, les funcions a voltes es denominen débilmente contínues (respectivament, débilmente diferenciables, débilmente analítiques, etc.) si són contínues (respectivament, diferenciables, analítiques, etc.) sobre la topología dèbil.

Història

A principis de el XX, David Hilbert i Marcel Riesz varen fer un us extensiu de la convergència dèbil. Els primers pioners del anàlisis funcional no varen elevar la convergència de normes per damunt de la convergència dèbil i, a sovint, varen considerar que la convergència dèbil era preferible. En 1929, Banach va introduir la convergència dèbil per a espais normados i també va introduir la convergència dèbil anàloga. La topología dèbil també es diu topologie faible en francés i schwache Topologie en alemà.

Les topología dèbil i forta

Artícul principal → Topología en espais d'aplicacions llineals.

Siga $𝕂$ un cos topològic, és dir, un cos en una topología tal que la suma, la multiplicació i la divisió siguen contínues. En la majoria de les aplicacions, $𝕂$ serà el cos dels número complejo o el camp dels número real en les topología usuals.

Topología dèbil sobre un emparejamiento

Artícul principal → Sistema dual.

Tant la topología dèbil com la topología dèbil són casos especials d'una construcció més general para emparejamientos, que es descriuen a continuació. El benefici d'esta construcció més general és que qualsevol definició o resultat demostrat s'aplica tant a la topología dèbil com a la topología dèbil, lo que fa redundante la necessitat de moltes definicions, enunciats de teoremes i demostracions. Esta és també la raó per la que la topología dèbil també es denomina freqüentment "topología dèbil", degut a que és solament un eixemple de la topología dèbil en el marc d'esta construcció més general.

Suponga's que (X, I, b) és un emparejamiento d'espais vectorials sobre un camp topològic $𝕂$ (és dir, X i I són espais vectorials sobre $𝕂$ i b : X × I → $𝕂$ és un operador bilineal).

Notació. Per a tot x ∈ X, denote's com b(x, •) : I → $𝕂$ la funció llineal en I definida per i ↦ b(x, i). De manera similar, per a tot i ∈ I, definixca's b(•, i) : X → $𝕂$ per x ↦ b(x, i).

Definició. La topología dèbil en X induïda per I (i b) és la topología més dèbil en X, indicada per 𝜎(X, I, b) o simplement 𝜎(X, I), lo que fa que totes les aplicacions b(•, i) : X → $𝕂$ siguen contínues, com a rancs de i sobre I.

La topología dèbil en I ara es definix automàticament com es descriu en l'artícul sistema dual. No obstant, per a major claritat, es definix a continuació.

Definició. La topología dèbil en I induïda per X (i b) és la topología més dèbil en I, indicada per 𝜎(I, X, b) o simplement 𝜎(I, X), lo que fa que totes les aplicacions b(x, •) : I → $𝕂$ siguen contínues, com a rancs de x sobre X.

Si el cos $𝕂$ té un valor absolut Plantilla:Mabs, llavors la topología dèbil 𝜎(X, I, b) en X és induïda per la família de seminormas, p_i : X → $ℝ$, definida per

p_i(x) := Plantilla:Mabs

per a tots els i ∈ I i x ∈ X. Açò mostra que les topología dèbils són localment convexas.

Supost. D'ara en avant s'assumix que $𝕂$ és el cos dels número real $ℝ$ o el dels número complejo $ℂ$.

Dualitat canònica

Ara considere's el cas especial a on I és un subespacio vectorial del espai dual de X (és dir, un espai vectorial de funcionals llineals en X).

Existix un parell, denotat per $(X,Y,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ o $(X,Y)$, cridat emparellat canònic l'aplicació del qual bilineal $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ és la aplicació d'evaluació canònica, definida per $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$ per a tots els $x\in X$ i $x^{\prime }\in Y$. Tinga's en conte en particular que $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩$ és solament una atra forma d'indicar $x^{\prime }$, és dir, $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot )$.

Supost. Si I és un subespacio vectorial del espai dual de X, llavors s'assumix que estan associats en el emparejamiento canònic Plantilla:Angbr.

En este cas, la topología dèbil en X (respectivament, la topología dèbil en Plantilla:Var), denotada per 𝜎(X,I) (respectivament, per 𝜎(I,X)) és la topología dèbil en X (respectivament, en I) sobre el emparejamiento canònic Plantilla:Angbr.

La topología σ(X,I) és la topología inicial de X sobre I.

Si I és un espai vectorial de funcionals llineals en X, llavors el dual continu de X sobre la topología σ(X,I) és precisament igual a I.Plantilla:Harv

Les topología dèbil i dèbil

Siga X un espai vectorial topològic (EVT) sobre $𝕂$, és dir, X és un $𝕂$ espai vectorial equipat en una topología de modo que la suma de vectores i la multiplicació escalar siguen continus. Es recorre a la topología sobre X original o topología donada (s'advertix al llector contra l'us dels térmens "topología inicial" i "topología forta" per a fer referència a la topología original, ya que estos ya tenen significats ben coneguts, per lo que usar-los pot causar confusió). Es pot definir una topología que pot ser diferent en X utilisant l'espai dual topològic o $X^{*}$, que consta de tots els funcionals llineals des de X al cos base $𝕂$ que són continus sobre la topología donada.

Deu recordar-se que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ és l'aplicació d'evaluació canònica definida per $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$ per a tots els $x\in X$ i $x^{\prime }\in X^{*}$, a on en particular $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot )=x^{\prime }$.

Definició. La topología dèbil en X és la topología dèbil en X sobre l'emparajamiento canònic $⟨X,X^{*}⟩$. És dir, és la topología més dèbil en X, lo que fa que totes les aplicacions $x^{\prime }=⟨\cdot ,x^{\prime }⟩:X\to 𝕂$ siguen contínues, ya que $x^{\prime }$ comprén a $X^{*}$.

Definició: la topología dèbil en $X^{*}$ és la topología dèbil en $X^{*}$ sobre l'emparejamiento canònic $⟨X,X^{*}⟩$. És dir, és la topología més dèbil en $X^{*}$, lo que fa que totes les aplicacions $⟨x,\cdot ⟩:X^{*}\to 𝕂$ siguen contínues, ya que x comprén a X. Esta topología també es denomina topología dèbil.

A continuació es donen definicions alternatives.

Topología dèbil induïda per l'espai dual continu

Alternativament, la topología dèbil en un EVT X és la topología inicial sobre la família $X^{*}$. En atres paraules, és la topología més grossa en X tal que cada element de $X^{*}$ seguix sent una funció contínua.

Una subbase per a la topología dèbil és la colecció de conjunts de la forma ${\varphi }^{-1}(U)$, a on $\varphi \in X^{*}$ i O són un subconjunt obert del cos base $𝕂$. En atres paraules, un subconjunt de X és obert en la topología dèbil si i solament si pot escriure's com una unió (que pot ser infinita) de conjunts, cada u dels quals és una intersecció d'un número finito de conjunts de la forma ${\varphi }^{-1}(U)$.

Des d'este punt de vista, la topología dèbil és la topología polar més grossa.

Convergència dèbil

Vore també: Convergència dèbil (espai de Hilbert)

La topología dèbil es caracterisa per la següent condició: una ret $(x_{\lambda })$ en X convergix en la topología dèbil a l'element x de X si i solament si $\varphi (x_{\lambda })$ convergix a $\varphi (x)$ en $ℝ$ o $ℂ$ per a tots els $\varphi \in X^{*}$.

En particular, si $x_n$ és una successió en X, llavors $x_n$ convergix débilmente en x si

$\phi (x_n)\to \phi (x)$

quan n → ∞ per a tots els $\phi \in X^{*}$. En este cas, s'acostuma escriure

$x_n\stackrel{\mathrm{w}}{⟶}x$

o algunes voltes,

$x_n\rightharpoonup x.$

Atres propietats

Si X està equipat en una topología dèbil, llavors la suma i la multiplicació escalar seguixen sent operacions contínues, i X és un espai vectorial topològic localment convexo.

Si X és un espai normado, llavors l'espai dual $X^{*}$ és en sí mateixa un espai vectorial normado utilisant la norma

$\Vert \varphi \Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }|\varphi (x)|.$

Esta norma dona lloc a una topología, denominada topología forta, en $X^{*}$, que és la topología de convergència uniforme. Les topología uniformes i fortes són generalment diferents per a atres espais d'aplicacions llineals (vore més avall).

Vore també

• Compacte de Eberlein, un conjunt compacte en topología dèbil
• Convergència dèbil (espai de Hilbert)
• Topología de l'operador dèbil
• Convergència dèbil de mides
• Topología en espais d'aplicacions llineals
• Topología d'operadors
• Topología vaga

Bibliografia

• (1994).«A Course in Functional Analysis».Springer-Verlag.
• Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second edició, John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-31716-6.

• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• (1989).«Analysis Now».Springer.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• (February 2004) General Topology, Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
• (1980).«Functional analysis».Springer.