Topología en espais d'aplicacions llineals

En matemàtiques, particularment en anàlisis funcional, els espais d'aplicacions llineals entre dos espais vectorials poden estar dotats d'una varietat de topología, donant lloc a les topología en espais d'aplicacions llineals. L'estudi de l'espai d'aplicacions llineals i d'estes topología pot donar una idea dels propis espais.

L'artícul topología d'operadors analisa les topología en espais d'aplicacions llineals entre espais vectorials normados, mentres que este artícul analisa topología en dits espais en l'entorn més general dels espais vectorials topològics (EVTs).

Topología de convergència uniforme sobre espais arbitraris d'aplicacions

En tot moment s'assumix lo següent:

1. $T$ és qualsevol conjunt no buit i $𝒢$ és una colecció no buida de subconjunts de $T$ dirigit per l'inclusió de subconjunts (és dir, per a qualsevol $G,H\in 𝒢$ existix algun $K\in 𝒢$ tal que $G\cup H\subseteq K$).
2. $Y$ és un espai vectorial topològic (no necessàriament de Hausdorff o localment convexo).
3. $𝒩$ és una base d'entorns de 0 en $Y.$
4. $F$ és un subespacio vectorial de $Y^T=\prod _{t\in T}Y,$ que denota el conjunt de totes les funcions $Y$ en valors $f:T\to Y$ en domini $T.$

Topología 𝒢

Els següents conjunts constituiran els subconjunts oberts bàsics de les topología en espais d'aplicacions llineals. Per a qualsevol subconjunt $G\subseteq T$ i $N\subseteq Y,$ siga

$𝒰(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.$

La família

$\{𝒰(G,N):G\in 𝒢,N\in 𝒩\}$

forma una base d'entorns en l'orige d'una topología invariante a la translació única en $F,$ a on esta topología és necessàriament una topología vectorial (és dir, és possible que no convertixca a $F$ en un EVT). Esta topología no depén de la base d'entorns $𝒩$ que es va elegir i es coneix com a topología de convergència uniforme en els conjunts en $𝒢$ o com a topología $𝒢$. No obstant, este nom es canvia en freqüència segons els tipos de conjunts que componen $𝒢$ (per eixemple, la "topología de convergència uniforme en conjunts compactes" o la "topología de convergència compacta"; consulte's la nota al peu per a obtindre més detalls).

Es diu que un subconjunt ${𝒢}_1$ de $𝒢$ és fonamental sobre $𝒢$ si cada $G\in 𝒢$ és un subconjunt d'algun element en ${𝒢}_1.$ En este cas, la colecció $𝒢$ es pot reemplaçar per ${𝒢}_1$ sense canviar la topología en $F.$. També es pot reemplaçar $𝒢$ en la colecció de tots els subconjunts de totes les unions finitas d'elements de $𝒢$ sense canviar la topología $𝒢$ resultant en $F.$.

Un subconjunt $B$ de $T$ es denomina $F$-acotat si $f(B)$ és un subconjunt acotat de $Y$ per a cada $f\in F.$

Propietats

A continuació es descriuen les propietats dels conjunts oberts bàsics, aixina que suponga's que $G\in 𝒢$ i $N\in 𝒩.$ Llavors, $𝒰(G,N)$ és un subconjunt absorbent de $F$ si i solament si para tot $f\in F,$ $N$ absorbix $f(G)$. Si $N$ és equilibrat (respectivament, convexo), llavors també ho és $𝒰(G,N).$

L'igualtat

$𝒰(\varnothing ,N)=F$

sempre es manté. Si $s$ és un escalar, llavors $s𝒰(G,N)=𝒰(G,sN),$ de modo que en particular, $-𝒰(G,N)=𝒰(G,-N).$ Ademés,

$𝒰(G,N)-𝒰(G,N)\subseteq 𝒰(G,N-N)$

i de manera similar

$𝒰(G,M)+𝒰(G,N)\subseteq 𝒰(G,M+N).$

Per a qualsevol subconjunt $G,H\subseteq X$ i qualsevol subconjunt no buit $M,N\subseteq Y,$

$𝒰(G\cup H,M\cap N)\subseteq 𝒰(G,M)\cap 𝒰(H,N)$

lo que implica que:

• si $M\subseteq N$ llavors $𝒰(G,M)\subseteq 𝒰(G,N).$
• si $G\subseteq H$ llavors $𝒰(H,N)\subseteq 𝒰(G,N).$
• Per a qualsevol $M,N\in 𝒩$ i subconjunts $G,H,K$ de $T,$ si $G\cup H\subseteq K$ llavors :$𝒰(K,M\cap N)\subseteq 𝒰(G,M)\cap 𝒰(H,N).$

Per a qualsevol família $𝒮$ de subconjunts de $T$ i qualsevol família $ℳ$ de entornoos de l'orige en $Y,$

$𝒰(\bigcup _{S\in 𝒮}S,N)=\bigcap _{S\in 𝒮}𝒰(S,N)\text{ y }𝒰(G,\bigcap _{M\in ℳ}M)=\bigcap _{M\in ℳ}𝒰(G,M).$

Estructura uniforme

Vore també: Espai uniforme

Per a qualsevol $G\subseteq T$ i $U\subseteq Y\times Y$, siga qualsevol acompanyament de $Y$ (a on $Y$ està dotat del seu uniformitat canònica), siga

$𝒲(G,U):=\{(u,v)\in Y^T\times Y^T:(u(g),v(g))\in U\text{ para todo }g\in G\}.$

Dau $G\subseteq T,$ la família de tots els conjunts $𝒲(G,U)$, ya que $U$ comprén qualsevol sistema fonamental de acompanyament de $Y$, forma un sistema fonamental de acompanyament per a una estructura uniforme en $Y^T$ denominada , o simplement . L'estructura uniforme de convergència és el llímit superior mínim de totes les estructures uniformes de convergència $G,$ ya que $G\in 𝒢$ comprén $𝒢.$

Rets i convergència uniforme

Siga $f\in F$ i $f_{\bullet }={\left(f_i\right)}_{i\in I}$ siga una ret en $F.$ Llavors, per a qualsevol subconjunt $G$ de $T,$ es diu que $f_{\bullet }$ convege uniformemente a $f$ en $G$ si per a cada $N\in 𝒩$ existix algun $i_0\in I$ tal que per a cada $i\in I$ que satisfaça $i\ge i_0,I$ $f_i-f\in 𝒰(G,N)$ (o equivalentemente, $f_i(g)-f(g)\in N$ per a cada $g\in G$).

Propietats heretades

Convexidad local

Si $Y$ és un espai localment convexo, llavors també ho és la topología $𝒢$ en $F$, i si ${\left(p_i\right)}_{i\in I}$ és una família de seminormas contínues que generen esta topología en $Y$, llavors la topología $𝒢$ és induïda per la següent família de seminormas:

$p_{G,i}(f):=\underset{x\in G}{\sup }{p}_i(f(x)),$

ya que $G$ varia sobre $𝒢$ i $i$ varia sobre $I$.

Hausdorffsidad

Si $Y$ és un espai de Hausdorff i $T=\bigcup _{G\in 𝒢}G$, llavors la topología $𝒢$ en $F$ és de Hausdorff.

Suponga's que $T$ és un espai topològic.

Si $Y$ és d'Hausdorff i $F$ és el subespacio vectorial de $Y^T$ que consta de totes les aplicacions contínues que estan acotades en cada $G\in 𝒢$ i si $\bigcup _{G\in 𝒢}G$ és dens en $T$, llavors la topología $𝒢$ en $F$ és de Hausdorff.

Acotación

Un subconjunt $H$ de $F$ és acotat en la topología $𝒢$ si i solament si per a cada $G\in 𝒢,$ $H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)$ està acotat en $Y.$

Eixemples d'topología 𝒢

Convergència puntual

Si es considera que $𝒢$ siga el conjunt de tots els subconjunts finitos de $T$, llavors la topología $𝒢$ en $F$ és cridada topología de la convergència puntual. La topología de convergència puntual en $F$ és idèntica a la topología subespacial que $F$ hereta de $Y^T$ quan $Y^T$ està dotat de la topología producte habitual.

Si $X$ és un espai topològic de Hausdorff completament regular no trivial i $C(X)$ és l'espai de totes les funcions contínues en valors reals (o complexos) en $X,$ la topología de la convergència puntual en $C(X)$ és metrisable si i solament si $X$ és numerable.

Topología 𝒢 en espais d'aplicacions llineals contínues

En esta secció s'assumix que $X$ i $Y$ són espais vectorials topològics (EVTs). $𝒢$ serà una colecció no buida de subconjunts de $X$ dirigit per inclusió. $L(X;Y)$ denotarà l'espai vectorial de totes les aplicacions llineals contínues des de $X$ a $Y.$ Si a $L(X;Y)$ se li dona la topología $𝒢$ heretada de $Y^X$, llavors este espai en esta topología es denota per $L_{𝒢}(X;Y)$. l'espai dual continu d'un espai vectorial topològic $X$ sobre el camp $𝔽$ (que se supondrà que és real o complex) és l'espai vectorial $L(X;𝔽)$ i es denota per $X^{\prime }$.

La topología $𝒢$ en $L(X;Y)$ és compatible en l'estructura de l'espai vectorial de $L(X;Y)$ si i solament si para tot $G\in 𝒢$ i tot $f\in L(X;Y)$ el conjunt $f(G)$ està acotat en $Y,$ la qual cosa assumirem que és el cas durant el restant de l'artícul. Tinga's en conte en particular que este és el cas si $𝒢$ consta de subconjunts acotats (de von-Neumann) de $X.$

Supòsits sobre 𝒢

Supòsits que garantisen una topología vectorial

• ($𝒢$ està dirigit): $𝒢$ serà una colecció no buida de subconjunts de $X$ dirigit per inclusió (subconjunt). És dir, per a qualsevol $G,H\in 𝒢,$ existix $K\in 𝒢$ tal que $G\cup H\subseteq K$.

La suposició anterior garantisa que la colecció de conjunts $𝒰(G,N)$ forma una base de filtres. La següent suposició garantisarà que els conjunts $𝒰(G,N)$ siguen equilibrats. Cada EVT té una base d'entorns en 0 que consta de conjunts equilibrats, per lo que esta suposició no és complicada.

• ($N\in 𝒩$ estan equilibrats): $𝒩$ és una base d'entorns de l'orige en $Y$ que consta enterament de conjunts equilibrats.

La següent suposició es fa molt comunament perque garantisarà que cada conjunt $𝒰(G,N)$ siga absorbent en $L(X;Y).$

• ($G\in 𝒢$ estan acotats): se supon que $𝒢$ consistix enterament en subconjunts acotats de $X.$

La següent teorema mostra formes en les que $𝒢$ es pot modificar sense canviar la topología $𝒢$ resultant en $Y.$

Suposicions comunes

Alguns autors (per eixemple, Narici) requerixen que $𝒢$ complixca la següent condició, lo que implica, en particular, que $𝒢$ és un conjunt dirigit per inclusió de subconjunts. $𝒢$ se supon tancat sobre la formació de subconjunts d'unions finitas de conjunts en $𝒢$ (és dir, cada subconjunt de cada unió finita de conjunts en $𝒢$ pertany a $𝒢$).

Alguns autors (per eixemple, Trèves) requerixen que $𝒢$ estiga dirigit baix l'inclusió de subconjunts i que complixca la següent condició:

Si $G\in 𝒢$ i $s$ són escalares, llavors existix un $H\in 𝒢$ tal que $sG\subseteq H.$

Si $𝒢$ és una bornología en $X,$ com sol ser el cas, llavors es complixen estos axioma. Si $𝒢$ és una família saturada de subconjunts acotats de $X$, llavors estos axioma també se satisfan.

Propietats

Hausdorffsidad

Un subconjunt d'un EVT $X$ que el seu sistema generador és un subconjunt dens de $X$ es diu que és un subconjunt total de $X.$ Si $𝒢$ és una família de subconjunts d'un EVT $T$, llavors es diu que $𝒢$ és total en $T$ si el sistema generador de $\bigcup _{G\in 𝒢}G$ és dens en $T.$.

Si $F$ és el subespacio vectorial de $Y^T$ que consta de totes les aplicacions llineals contínues que estan acotades en cada $G\in 𝒢,$ llavors la topología $𝒢$ en $F$ és de Hausdorff si $Y$ és de Hausdorff i $𝒢$ és total en $T.$

Completitud

Per a les següents teoremes, suponga's que $X$ és un espai vectorial topològic i $Y$ és un espai localment convexo de Hausdorff i $𝒢$ és una colecció de subconjunts acotats de $X$ que recobrix $X,$ està dirigit per inclusió de subconjunts i satisfà la següent condició: si $G\in 𝒢$ i $s$ són escalares, llavors existix un $H\in 𝒢$ tal que $sG\subseteq H.$

• $L_{𝒢}(X;Y)$ és complete si
  1. $X$ és localment convexo i de Hausdorff
  2. $Y$ és complet, i
  3. quan $u:X\to Y$ és una aplicació llineal, llavors $u$ restringit a cada conjunt $G\in 𝒢$ és continu implica que $u$ és continu,
• Si $X$ és un espai de Mackey, llavors $L_{𝒢}(X;Y)$ està complet si i solament si tant $X_{𝒢}^{\prime }$ com $Y$ són complets.
• Si $X$ és barrilado, llavors $L_{𝒢}(X;Y)$ és de Hausdorff i cuasi complet.
• Sean $X$ i $Y$ dos EVTs en $Y$ cuasi complet i suponga's que (1) $X$ és barrilado, o ben (2) $X$ és un espai de Baire i $X$ i $Y$ són localment convexos. Si $𝒢$ recobrix $X$, llavors cada subconjunt equicontinuo tancat de $L(X;Y)$ està complet en $L_{𝒢}(X;Y)$ i $L_{𝒢}(X;Y)$ és cuasi complet.
• Siga $X$ un espai bornológico, $Y$ un espai localment convexo i $𝒢$ una família de subconjunts acotats de $X$ tal que el ranc de cada seqüència nula en $X$ estiga contingut en algun $G\in 𝒢.$ Si $Y$ és cuasi complet (respectivament, complet), llavors també ho és $L_{𝒢}(X;Y)$.

Acotat

Sean $X$ i $Y$ espais vectorials topològics i $H$ un subconjunt de $L(X;Y).$ Llavors les següents expressions són equivalents:

1. $H$ està acotat en $L_{𝒢}(X;Y)$.
2. Per cada $G\in 𝒢,$ $H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)$ està acotat en $Y$.
3. Per cada entorn $V$ de l'orige en $Y,$ el conjunt $\bigcap _{h\in H}{h}^{-1}(V)$ absorbix cada $G\in 𝒢.$

Si $𝒢$ és un colectiu de subconjunts acotats de $X$ l'unió dels quals és total en $X$, llavors cada subconjunt equicontinuo de $L(X;Y)$ està acotat en la topología $𝒢$. Ademés, si $X$ i $Y$ són espais de Hausdorff localment convexos, llavors

• Si $H$ està acotat en $L_{\sigma }(X;Y)$ (és dir, acotat puntualment o simplement acotat), llavors està acotat en la topología de convergència uniforme en els subconjunts complets, acotats, equilibrats i convexos de $X.$
• Si $X$ és cuasi complet (lo que significa que els subconjunts tancats i acotats estan complets), llavors els subconjunts acotats de $L(X;Y)$ són idèntics per a totes les topología $𝒢$ a on $𝒢$ és qualsevol família de subconjunts acotats de $X$ que recobrixen $X.$

Eixemples

$𝒢\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ ("topología de convergència uniforme sobre...")	Notació	Nom ("topología de...")	Nom alternatiu
Subconjunts finitos de $X$	$L_{\sigma }(X;Y)$	Convergència puntual/simple	Topología de convergència simple
Subconjunts precompactos de $X$		Convergència precompacta
Subconjunts convexos compactes de $X$	$L_{\gamma }(X;Y)$	Convergència convexa compacta
Subconjunts compactes de$X$	$L_c(X;Y)$	Convergència compacta
Subconjunts acotats de $X$	$L_b(X;Y)$	Convergència acotada	Topología forta

Topología de la convergència puntual

En permetre que $𝒢$ siga el conjunt de tots els subconjunts finitos de $X,$ $L(X;Y)$ tindrà la topología dèbil en $L(X;Y)$ o la topología de convergència puntual o la topología de convergència simple i $L(X;Y)$ en esta topología es referix com $L_{\sigma }(X;Y)$. Desafortunadament, esta topología a voltes també es denomina topología d'operador fort, lo que pot generar ambigüitat; per esta raó, este artícul evitarà fer referència a esta topología en este nom.

Un subconjunt de $L(X;Y)$ es denomina simplement acotat o débilmente acotat si està acotat en $L_{\sigma }(X;Y)$.

La topología dèbil en $L(X;Y)$ té les següents propietats:

• Si $X$ és separable (és dir, té un subconjunt dens numerable) i si $Y$ és un espai vectorial topològic metrisable, llavors cada subconjunt equicontinuo $H$ de $L_{\sigma }(X;Y)$ és metrisable; si ademés $Y$ és separable, llavors $H$ també ho és.
  • Llavors, en particular, en cada subconjunt equicontinuo de $L(X;Y),$ la topología de la convergència puntual és metrisable.
• Siga $Y^X$ l'espai de totes les funcions des de $X$ fins a $Y.$ Si a $L(X;Y)$ se li dona la topología de convergència puntual, llavors l'espai de totes les aplicacions llineals (contínues o no) de $X$ a $Y$ es tanca en $Y^X$.
  • Ademés, $L(X;Y)$ és dens en l'espai de totes les aplicacions llineals (contínues o no) $X$ en $Y.$
• Suponga's que $X$ i $Y$ són localment convexos. Qualsevol subconjunt simplement acotat de $L(X;Y)$ està acotat quan $L(X;Y)$ té la topología de convergència uniforme en subconjunts convexos, equilibrats, acotats i complets de $X.$ Si ademés, $X$ és cuasi complet, llavors les famílies de subconjunts acotats de $L(X;Y)$ són idèntiques per a totes les topología de $𝒢$ en $L(X;Y)$, tal que $𝒢$ és una família de conjunts acotats que recobrixen $X.$

Subconjunts equicontinuos

• El tancament dèbil d'un subconjunt equicontinuo de $L(X;Y)$ és equicontinuo.
• Si $Y$ és localment convexo, llavors la envolvente equilibrada convexa d'un subconjunt equicontinuo de $L(X;Y)$ és equicontinua.
• Sean $X$ i $Y$ dos EVTs i suponga's que (1) $X$ és barrilado, o ben (2) $X$ és un espai de Baire i $X$ i $Y$ són localment convexos. Llavors, tot subconjunt simplement acotat de $L(X;Y)$ és equicontinuo.
• En un subconjunt equicontinuo $H$ de $L(X;Y),$ les següents topología són idèntiques: (1) topología de convergència puntual en un subconjunt total de $X$; (2) la topología de la convergència puntual; (3) la topología de la convergència precompacta.

Convergència compacta

En permetre que $𝒢$ siga el conjunt de tots els subconjunts compactes de $X,$ $L(X;Y)$ tindrà la topología de convergència compacta o la topología de convergència uniforme en conjunts compactes i $L(X;Y)$ en esta topología es denota per $L_c(X;Y).$

La topología de convergència compacta en $L(X;Y)$ té les següents propietats:

• Si $X$ és un espai de Fréchet o un espai de LF i si $Y$ és un espai de Hausdorff localment convexo complet, llavors $L_c(X;Y)$ està complet.
• En subconjunts equicontinuos de $L(X;Y),$ coincidixen les següents topología:
  • La topología de la convergència puntual en un subconjunt dens de $X.$
  • La topología de la convergència puntual en $X.$
  • La topología de la convergència compacta.
  • La topología de la convergència precompacta.
• Si $X$ és un espai de Montel i $Y$ és un espai vectorial topològic, llavors $L_c(X;Y)$ i $L_b(X;Y)$ tenen topología idèntiques.

Topología de convergència acotada

En permetre que $𝒢$ siga el conjunt de tots els subconjunts acotats de $X,$ $L(X;Y)$ tindrà la topología de convergència acotada en $X$ o la topología de convergència uniforme en conjunts acotats i $L(X;Y)$ en esta topología es denota per $L_b(X;Y)$.

La topología de convergència llimitada en $L(X;Y)$ té les següents propietats:

• Si $X$ és un espai bornológico i si $Y$ és un espai de Hausdorff localment convexo complet, llavors $L_b(X;Y)$ està complet.
• Si $X$ i $Y$ són espais normados, llavors la topología en $L(X;Y)$ induïda per la norma de l'operador habitual és idèntica a la topología en $L_b(X;Y)$.
  • En particular, si $X$ és un espai normado, llavors la topología normal habitual en l'espai dual continu $X^{\prime }$ és idèntica a la topología de convergència acotada en $X^{\prime }$.
• Tot subconjunt equicontinuo de $L(X;Y)$ està acotat en $L_b(X;Y)$.

Bibliografia

• (1973) Topological Vector Spaces, New York: Gordon and Breach Science Publishers. OCLC 886098. ISBN 978-0-677-30020-7.
• (1977) Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis (vol. 26), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316549583. ISBN 978-0-08-087137-0.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.