Espai vectorial topològic complet

En anàlisis funcional i àrees relacionades de matemàtiques, un espai vectorial topològic complet és un espai vectorial topològic (EVT) en la propietat de que cada volta que els punts s'acosten progressivament entre sí, existix algun punt $x$ cap al qual tots s'acosten. La noció de "punts que s'acosten progressivament" es definix rigurosamnete en les entrades dedicades a o als , que són generalisacions de les , mentres que el concepte de "punt $x$ cap al qual s'acosten tots" significa que esta ret de Cauchy o filtre convergix a $x.$

La noció de completitud per a un EVT utilisa la teoria d'espais uniformes com a marc per a generalisar la noció de completitud per a espais mètrics. Pero a diferència de la completitud de la mètrica, la completitud d'un EVT no depén de cap mètrica i es definix para , inclosos aquells que no són metrisables o d'Hausdorff.

La completitud és una propietat extremadament important que deu posseir un espai vectorial topològic. Les nocions de completitud per als espais vectorials normados i els metrisables, que comunament es definixen en térmens de completitud d'una norma o mètrica particular, poden reduir-se a esta noció de completitud per als EVTs, una noció que és independent de qualsevol norma o mètrica particular. Un espai vectorial topològic metrisable $X$ en una mètrica invariante a la translació $d$ està complet com EVT si i solament si $(X,d)$ és un espai mètric complet, lo que per definició significa que cada $d$-successió de Cauchy convergix a algun punt en $X.$ Eixemples destacats de EVTs complets que també són metrisables inclouen tots els espais F i, en consucesión, també tots els espais de Fréchet, els espais de Banach i els espais de Hilbert. Eixemples destacats de EVTs complets que (típicament) són metrisables inclouen els espais LF estrictes com l'espai de funcions de prova $C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ en la seua topología LF canònica, l'espai dual fort de qualsevol espai de Fréchet no normable, aixina com moltes atres topología polars en espais duals o unes atres topología en espais d'aplicacions llineals.

Explícitament, un espai vectorial topològic (EVT) és complet si cada ret, o equivalentement, cada filtre de Cauchy sobre la necessàriament convergix en algun punt. Dit d'una atra manera, un EVT està complet si la seua uniformitat canònica és uniforme. La uniformitat canònica en un EVT $(X,\tau )$ és l'única uniformitat invariante a la translació que induïx en $X$ la topología $\tau .$

Esta noció de "completitud de el EVT" depén de la resta de vectores i de la topología de el EVT. En consucesión, es pot aplicar a tots els EVTs, inclosos aquells les topología dels quals no es poden definir en térmens mètrics o pseudométricos.

Un EVT que complix el primer axioma de numerabilidad està complet si i solament si cada successió de Cauchy (o equivalentement, cada filtre de Cauchy elemental) convergix en algun punt.

Tot espai vectorial topològic $X,$ inclús si no és metrisable o no és d'Hausdorff, té una , que per definició és un EVT $C$ complet en el que $X$ pot ser EVT-embebido com subespacio vectorial dens. Ademés, cada EVT de Hausdorff té una completación de , que és necessàriament llevat EVTs única. No obstant, com s'analisa a continuació, tots els EVT tenen infinites completaciones que no són de Hausdorff i que són EVT-isomorfas entre sí.

Definicions

Artícul principal → Ret (matemàtica).

Esta secció resumix la definició d'un espai vectorial topològic (EVT) complet en térmens de rets i prefiltros. Pot trobar informació sobre la convergència de rets i filtres, com a definicions i propietats, en l'artícul sobre filtres en topología.

Cada espai vectorial topològic (EVT) és un grup topològic conmutativo en identitat baixe la suma, i l'uniformitat canònica d'un EVT es definix en térmens de la resta (i per tant, de la suma). La multiplicació escalar no està involucrada i no es necessita estructura adicional.

Uniformitat canònica

La ' de $X$ és el conjunt

${\Delta }_X\stackrel{\text{def}}{=}\{(x,x):x\in X\}$

i per a qualsevol $N\subseteq X,$ el /Plantilla:Enf és el conjunt

$\begin{array}{cc}{\Delta }_X(N)& \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\ & ={\Delta }_X+(N\times \{0\})\end{array}$

a on si $0\in N$, llavors ${\Delta }_X(N)$ conté la diagonal ${\Delta }_X(\{0\})={\Delta }_X.$

Si $N$ és un conjunt simètric (és dir, si $-N=N$), llavors ${\Delta }_X(N)$ és ', lo que per definició significa que ${\Delta }_X(N)={({\Delta }_X(N))}^{\mathrm{op}}$ es complix a on ${({\Delta }_X(N))}^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in {\Delta }_X(N)\},$ i ademés, la composició en si mateixa és:

$\begin{array}{cc}{\Delta }_X(N)\circ {\Delta }_X(N)& \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,z)\in X\times X:\text{ existe }y\in X\text{ tal que }x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\ & ={\Delta }_X+(N\times N).\end{array}$

Si $ℒ$ és qualsevol base d'entorns en l'orige de $(X,\tau )$, llavors la família de subconjunts de $X\times X:$

${ℬ}_{ℒ}\stackrel{\text{def}}{=}\{{\Delta }_X(N):N\in ℒ\}$

és un prefiltro en $X\times X.$ Si ${𝒩}_{\tau }(0)$ és la base d'entorns en l'orige en $(X,\tau )$, llavors ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}$ forma un espai uniforme per a una estructura uniforme en $X$ que es considera canònica. Explícitament, per definició, la $(X,\tau )$ és el filtre ${𝒰}_{\tau }$ en $X\times X$ generat pel prefiltro anterior:

${𝒰}_{\tau }\stackrel{\text{def}}{=}{ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}^{\uparrow }\stackrel{\text{def}}{=}\{S\subseteq X\times X:N\in {𝒩}_{\tau }(0)\text{ y }{\Delta }_X(N)\subseteq S\}$

a on ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}^{\uparrow }$ denota la de ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}$ en $X\times X.$ La mateixa uniformitat canònica resultaria si s'utilisara una base d'entorn de l'orige en lloc del filtre de tots els entorns de l'orige. Si $ℒ$ és qualsevol base d'entorns en l'orige en $(X,\tau )$, llavors el filtre en $X\times X$ generat pel prefiltro ${ℬ}_{ℒ}$ és igual a l'uniformitat canònica ${𝒰}_{\tau }$ induïda per $(X,\tau ).$

Ret de Cauchy

Vore també: Ret (matemàtica) i Série convexa

La teoria general d'espais uniformes té la seua pròpia definició de "prefiltro de Cauchy" i de "ret de Cauchy". Per a l'uniformitat canònica en $X,$ estes definicions es reduïxen a les que s'indiquen a continuació.

Suponga's que $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ és una ret en $X$ i $y_{\bullet }={\left(y_j\right)}_{j\in J}$ és una ret en $Y.$

El producte $I\times J$ es convertix en un conjunt dirigit en declarar $(i,j)\le (i_2,j_2)$ si i solament si $i\le i_2$ i $j\le j_2.$ Llavors

$x_{\bullet }\times y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i,y_j)}_{(i,j)\in I\times J}$

denota el Plantilla:Anclavis(cartesiano), a on en particular $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i,x_j)}_{(i,j)\in I\times I}.$ Si $X=Y$, llavors l'image d'esta ret baixe l'aplicació suma de vectores $X\times X\to X$ denota la Plantilla:Anclavisd'estes dos rets:

$x_{\bullet }+y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i+y_j)}_{(i,j)\in I\times J}$

i de manera similar, la seua Plantilla:Anclavises definix com l'image del producte de rets baixe l'aplicació resta vectorial $(x,y)\mapsto x-y$:

$x_{\bullet }-y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i-y_j)}_{(i,j)\in I\times J}.$

En particular, la notació $x_{\bullet }-x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}-{\left(x_i\right)}_{i\in I}$ denota la ret indexada $I^2$ per ${(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I}$ i no la ret indexada $I$ per ${(x_i-x_i)}_{i\in I}=(0{)}_{i\in I}$, ya que usar este últim com a definició faria que la notació fora inútil.

Una ret $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ en un EVT $X$ es diu ret de Cauchy si:

$x_{\bullet }-x_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I}\to 0\text{ en }X.$

Explícitament, açò significa que per a cada entorn $N$ de $0$ en $X,$ existix algun índex $i_0\in I$ tal que $x_i-x_j\in N$ per a tots els índexs $i,j\in I$ que satisfan $i\ge i_0$ i $j\ge i_0.$ És suficient verificar qualsevol d'estes condicions definitorias per a qualsevol base d'entorns de $0$ en $X.$ Una successió de Cauchy és una successió que també és una ret de Cauchy.

Si $x_{\bullet }\to x$, llavors $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)$ en $X\times X$, i en consucesión, la continuïtat de l'aplicació resta vectorial $S:X\times X\to X,$ que està definit per $S(x,y)\stackrel{\text{def}}{=}x-y,$ garantisa que $S(x_{\bullet }\times x_{\bullet })\to S(x,x)$ en $X,$ a on $S(x_{\bullet }\times x_{\bullet })={(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }$ i $S(x,x)=x-x=0.$ Açò demostra que tota ret convergent és una ret de Cauchy. Per definició, un espai es diu si ho contrarie també és sempre cert. És dir, $X$ està complet si i solament si es complix lo següent:

Sempre que $x_{\bullet }$ siga una ret en $X,$ llavors $x_{\bullet }$ convergix (fins a algun punt) en $X$ si i solament si $x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0$ en $X.$

Una caracterisació similar de completitud es complix si s'utilisen filtres i prefiltros en lloc de rets.

Una série $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i$ es denomina Plantilla:Anclavis(respectivament, una Plantilla:Anclavis) si la successió de séries ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ és una successió de Cauchy (respectivament, un llímit d'una successió). Tota série convergent és necessàriament una série de Cauchy. En un EVT complet, cada série de Cauchy és necessàriament una série convergent.

Filtre de Cauchy i prefiltro de Cauchy

Vore també: Filtres en topología

Un prefiltro $ℬ$ en un espai vectorial topològic $X$ es denomina prefiltro de Cauchy si satisfà qualsevol de les següents condicions equivalents:

1. $ℬ-ℬ\to 0$ en $X.$
   • La família $ℬ-ℬ\stackrel{\text{def}}{=}\{B-C:B,C\in ℬ\}$ és un prefiltro.
   • Explícitament, $ℬ-ℬ\to 0$ significa que per a cada entorn $N$ de l'orige en $X,$ existix $B,C\in ℬ$ tal que $B-C\subseteq N.$
2. $\{B-B:B\in ℬ\}\to 0$ en $X.$
   • La família $\{B-B:B\in ℬ\}$ és un prefiltro equivalent a $ℬ-ℬ$ ("equivalència" significa que estos prefiltros generen el mateix filtre en $X$).
   • Explícitament, $\{B-B:B\in ℬ\}\to 0$ significa que per a cada entorn $N$ de l'orige en $X,$ existix algun $B\in ℬ$ tal que $B-B\subseteq N.$
3. Per a cada entorn $N$ de l'orige en $X,$ $ℬ$ conté algun conjunt chicotet $N$ (és dir, existix algun $B\in ℬ$ tal que $B-B\subseteq N$).
   • Un subconjunt $B\subseteq X$ es diu $N$-menut o de Plantilla:Anclavis$N$ si $B-B\subseteq N.$
4. Per a cada entorn $N$ de l'orige en $X,$ existix un $x\in X$ i un $B\in ℬ$ tal que $B\subseteq x+N.$
   • Esta afirmació seguix sent certa si "$B\subseteq x+N$" es reemplaça per "$x+B\subseteq N.$"
5. Cada entorn de l'orige en $X$ conté algun subconjunt de la forma $x+B$ a on $x\in X$ i $B\in ℬ.$

És suficient verificar qualsevol de les condicions anteriors per a qualsevol base d'entorns de $0$ en $X.$ Un filtre de Cauchy és un prefiltro de Cauchy que també és un filtre en $X.$

Si $ℬ$ és un prefiltro en un espai vectorial topològic $X$ i si $x\in X,$ llavors $ℬ\to x$ en $X$ si i solament si $x\in \mathrm{cl}ℬ$ i $ℬ$ és de Cauchy.

Subconjunt complet

Artícul principal → Espai uniforme complet.

Per a qualsevol $S\subseteq X,$ un prefiltro $𝒞$ ' és necessàriament un subconjunt de $\mathrm{\wp }(S)$; és dir, $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(S).$

Un subconjunt $S$ d'un EVT $(X,\tau )$ es denomina Plantilla:Anclavissi satisfà qualsevol de les següents condicions equivalents:

1. Cada prefiltro de Cauchy $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(S)$ en $S$ convergix a a lo manco un punt de $S.$
   • Si $X$ és de Hausdorff, llavors cada prefiltro en $S$ convergirà com a màxim a un punt de $X.$ Pero si $X$ no és de Hausdorff, llavors un prefiltro pot convergir a múltiples punts en $X.$ Lo mateixa ocorre en les rets.
2. Cada ret de Cauchy en $S$ convergix fins a a lo manco un punt de $S.$
3. $S$ és un espai uniforme complet (segons la definició de la topología de conjunts de punts de "espai uniforme complet") quan $S$ està dotat de l'uniformitat induïda en ell per l'uniformitat canònica de $X.$

El subconjunt $S$ es denomina Plantilla:Anclavissi cada successió de Cauchy en $S$ (o equivalentement, cada filtre/prefiltro elemental de Cauchy en $S$) convergix a lo manco a un punt de $S.$

És important destacar que la convergència de : si $X$ no és de Hausdorff i si cada prefiltro de Cauchy en $S$ convergix a algun punt de $S,$ llavors $S$ estarà complet inclús si alguns o tots els prefiltros de Cauchy en $S$ convergixen a punts en $X\setminus S.$ En resum, no existix cap requisit de que estos prefiltros de Cauchy en $S$ convergixquen a punts en $S.$ Lo mateix pot dir-se de la convergència de rets de Cauchy en $S.$

Com consucesión, si un EVT $X$ és de Hausdorff, llavors cada subconjunt del tancament de $\{0\}$ en $X$ està complet perque és compacte i cada conjunt compacte és necessàriament complet.

En particular, si $\varnothing \ne S\subseteq {\mathrm{cl}}_X\{0\}$ és un subconjunt adequat, com $S=\{0\}$, per eixemple, llavors $S$ estaria complet encara que de Cauchy en $S$ (i també cada prefiltro de Cauchy en $S$) convergixca a en ${\mathrm{cl}}_X\{0\},$ inclosos eixos punts en ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ que no pertanyen a $S.$ Este eixemple també mostra que els subconjunts complets (i de fet, inclús els subconjunts compactes) d'un EVT que no és de Hausdorff, poden no tancar-se. Per eixemple, si $\varnothing \ne S\subseteq {\mathrm{cl}}_X\{0\}$, llavors $S={\mathrm{cl}}_X\{0\}$ si i solament si $S$ està tancat en $X.$

Espai vectorial topològic complet

Un espai vectorial topològic $X$ es denomina Plantilla:Anclavissi es complix alguna de les següents condicions equivalents:

1. $X$ és un espai uniforme quan està dotat de la seua uniformitat canònica.
   • En la teoria general d'espai uniforme, un espai uniforme es diu espai uniforme si cada Espai uniforme en $X$ convergix a algun punt de $X$ en la topología induïda per l'uniformitat. Quan $X$ és un EVT, la topología induïda per l'uniformitat canònica és igual a la topología donada de $X$ (per lo que la convergència en esta topología induïda és simplement la convergència habitual en $X$).
2. $X$ és un subconjunt complet de sí mateixa.
3. Existix un entorn de l'orige en $X$ que també és un subconjunt complet de $X.$
   • Açò implica que cada EVT locally compact està complet (inclús si el EVT no és Hausdorff).
4. Cada prefiltro de Cauchy $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ en $X$ convergix en $X$ fins a a lo manco un punt de $X.$
   • Si $X$ és de Hausdorff, llavors cada prefiltro en $X$ convergirà com a màxim a un punt de $X.$ Pero si $X$ no és de Hausdorff, llavors un prefiltro pot convergir a múltiples punts en $X.$ Lo mateixa ocorre en les rets.
5. Cada filtre de Cauchy en $X$ convergix en $X$ a a lo manco un punt de $X.$
6. Cada ret Cauchy en $X$ convergix en $X$ fins a a lo manco un punt de $X.$

a on, si ademés $X$ és pseudometrisable o metrisable (per eixemple, un espai vectorial normado), esta llista es pot ampliar per a incloure:

7. $X$ es completa secuencialment.

Un espai vectorial topològic $X$ és Plantilla:Anclavissi es complix alguna de les següents condicions equivalents:

1. $X$ és un subconjunt secuencialment complet de sí mateixa.
2. Cada successió de Cauchy en $X$ convergix en $X$ en a lo manco un punt de $X.$
3. Cada prefiltro elemental de Cauchy en $X$ convergix en $X$ en a lo manco un punt de $X.$
4. Cada filtre de Cauchy elemental en $X$ convergix en $X$ en a lo manco un punt de $X.$

Unicitat de l'uniformitat canònica

Vore també: Grup topològic

L'existència de l'uniformitat canònica va quedar demostrada anteriorment en definir-la. La següent teorema establix que l'uniformitat canònica de qualsevol EVT $(X,\tau )$ és l'única uniformitat en $X$ que és (1) invariante a la translació i (2) genera en $X$ la topología $\tau .$

Esta secció està dedicada a explicar els significats precisos dels térmens involucrats en esta declaració d'unicitat.

Espais uniformes i uniformitat invariantes a la translació

Artícul principal → Espai uniforme.

Per a qualsevol subconjunt $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X,$ let

${\Phi }^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in \Phi \}$

i siga

$\begin{array}{cc}\Phi \circ \Psi & \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,z):\text{ existe }y\in X\text{ tal que }(x,y)\in \Psi \text{ y }(y,z)\in \Phi \}\\ & =\bigcup _{y\in X}\{(x,z):(x,y)\in \Psi \text{ y }(y,z)\in \Phi \}\end{array}$

Una família $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X\times X)$ no buida es denomina Plantilla:Anclaviso Plantilla:Anclavissi $ℬ$ és un prefiltro en $X\times X$ que satisfà totes les condicions següents:

1. Cada conjunt en $ℬ$ conté la diagonal de $X$ com a subconjunt; és dir, ${\Delta }_X\stackrel{\text{def}}{=}\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi$ per cada $\Phi \in ℬ.$ Dit d'una atra manera, el prefiltro $ℬ$ és en ${\Delta }_X.$
2. Per a cada $\Omega \in ℬ$ existix algun $\Phi \in ℬ$ tal que $\Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .$
3. Per cada $\Omega \in ℬ$ existix algun $\Phi \in ℬ$ tal que $\Phi \subseteq {\Omega }^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.$

Una Plantilla:Anclaviso Plantilla:Anclavisen $X$ és un filtre $𝒰$ en $X\times X$ que és generat per alguna base de acompanyament $ℬ,$ en el cas dels quals es diu que $ℬ$ és una base de acompanyament

Per a un grup aditiu conmutativo $X,$ un Plantilla:Anclavis és un sistema fonamental de acompanyament $ℬ$ tal que per a cada $\Phi \in ℬ,$ $(x,y)\in \Phi$ si i solament si $(x+z,y+z)\in \Phi$ per a tots els $x,y,z\in X.$ Una uniformitat $ℬ$ es diu Plantilla:Anclavis si té una base de acompanyament que és invariante a la translació. L'uniformitat canònica en qualsevol EVT és invariante a la translació.

L'operador binario $\circ$ satisfà tot lo següent:

• $(\Phi \circ \Psi {)}^{\mathrm{op}}={\Psi }^{\mathrm{op}}\circ {\Phi }^{\mathrm{op}}.$
• Si $\Phi \subseteq {\Phi }_2$ i $\Psi \subseteq {\Psi }_2$, llavors $\Phi \circ \Psi \subseteq {\Phi }_2\circ {\Psi }_2.$
Asociatividad
• : $\Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .$
• Identitat: $\Phi \circ {\Delta }_X=\Phi ={\Delta }_X\circ \Phi .$
• Zero: $\Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi$

Acompanyament simètrics

Cride's a un subconjunt $\Phi \subseteq X\times X$ simètric si $\Phi ={\Phi }^{\mathrm{op}},$ lo que és equivalent a que ${\Phi }^{\mathrm{op}}\subseteq \Phi .$ Esta equivalència es deriva de l'identitat ${\left({\Phi }^{\mathrm{op}}\right)}^{\mathrm{op}}=\Phi$ i del fet de que si $\Psi \subseteq X\times X,$ llavors $\Phi \subseteq \Psi$ si i solament si ${\Phi }^{\mathrm{op}}\subseteq {\Psi }^{\mathrm{op}}.$ Per eixemple, el conjunt ${\Phi }^{\mathrm{op}}\cap \Phi$ sempre és simètric per a cada $\Phi \subseteq X\times X.$ I degut a que $(\Phi \cap \Psi {)}^{\mathrm{op}}={\Phi }^{\mathrm{op}}\cap {\Psi }^{\mathrm{op}},$ si $\Phi$ i $\Psi$ són simètrics, $\Phi \cap \Psi$ també ho és.

Topología generada per una uniformitat

Vore també: Espais topològics i Caracterisació de la categoria d'espais topològics

Relatius

Siga $\Phi \subseteq X\times X$ arbitrari i ${\mathrm{Pr}}_1,{\mathrm{Pr}}_2:X\times X\to X$ les proyeccions canòniques sobre la primera i segona coordenades, respectivament.

Per a qualsevol $S\subseteq X,$ es definix

$S\cdot \Phi \stackrel{\text{def}}{=}\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\ne \varnothing \}={\mathrm{Pr}}_2(\Phi \cap (S\times X))$

$\Phi \cdot S\stackrel{\text{def}}{=}\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\ne \varnothing \}={\mathrm{Pr}}_1(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left({\Phi }^{\mathrm{op}}\right)$

a on $\Phi \cdot S$ (respectivament, $S\cdot \Phi$) es diu el conjunt de esquerra (respectivament, dreta) $\Phi$-relatius de (punts en) $S.$ Denote's el cas especial en el que $S=\{p\}$ és un element unitari establit per a algun $p\in X$ per mig de:

$p\cdot \Phi \stackrel{\text{def}}{=}\{p\}\cdot \Phi =\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}$

$\Phi \cdot p\stackrel{\text{def}}{=}\Phi \cdot \{p\}=\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}=p\cdot \left({\Phi }^{\mathrm{op}}\right)$

Si $\Phi ,\Psi \subseteq X\times X$ llavors $(\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).$ Ademés, $\cdot$ és distributiva a la dreta sobre tant unions com a interseccions, lo que significa que si $R,S\subseteq X$ llavors $(R\cup S)\cdot \Phi =(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )$ i $(R\cap S)\cdot \Phi \subseteq (R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).$

Entorns i conjunts oberts

Dos punts $x$ i $y$ són $\Phi$-tancats si $(x,y)\in \Phi$ i un subconjunt $S\subseteq X$ es diu $\Phi$-menut si $S\times S\subseteq \Phi .$

Siga $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X\times X)$ una base de acompanyament en $X.$ El Plantilla:Anclavisen un punt $p\in X$ i, respectivament, en un subconjunt $S\subseteq X$ són les famílies de conjunts:

$ℬ\cdot p\stackrel{\text{def}}{=}ℬ\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in ℬ\}\text{ y }ℬ\cdot S\stackrel{\text{def}}{=}\{\Phi \cdot S:\Phi \in ℬ\}$

i els filtres en $X$ que cada u genera es coneixen com Plantilla:Anclavisde $p$ (respectivament, de $S$). Ara, s'assigna a cada $x\in X$ el prefiltro d'entorn

$ℬ\cdot x\stackrel{\text{def}}{=}\{\Phi \cdot x:\Phi \in ℬ\}$

i s'utilisa la definició d'entorn de "conjunt obert" per a obtindre una topología en $X$ cridada 'topología induïda per $ℬ$ o Plantilla:Anclavis.

Explícitament, un subconjunt $U\subseteq X$ està obert en esta topología si i solament si per a cada $u\in U$ existix algun $N\in ℬ\cdot u$ tal que $N\subseteq U$, és dir, $U$ està obert si i solament si per a cada $u\in U$ existix algun $\Phi \in ℬ$ tal que $\Phi \cdot u\stackrel{\text{def}}{=}\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.$

El tancament d'un subconjunt $S\subseteq X$ en esta topología és:

${\mathrm{cl}}_{X}S=\bigcap _{\Phi \in ℬ}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in ℬ}(S\cdot \Phi ).$

Prefiltros de Cauchy i uniformitat completes

Un prefiltro $ℱ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ en un espai uniforme $X$ en uniformitat $𝒰$ es diu prefiltro de Cauchy si per a cada entorn $N\in 𝒰,$ existix algun $F\in ℱ$ tal que $F\times F\subseteq N.$

Un espai uniforme $(X,𝒰)$ es diu Plantilla:Anclavis(respectivament, Plantilla:Anclavis) si cada prefiltro de Cauchy (respectivament, cada prefiltro de Cauchy elemental) en $X$ convergix a lo manco a un punt de $X$ quan $X$ està dotat de la topología induïda per $𝒰.$

Cas d'un espai vectorial topològic

Si $(X,\tau )$ és un espai vectorial topològic, llavors per a qualsevol $S\subseteq X$ i $x\in X,$

${\Delta }_X(N)\cdot S=S+N\text{ y }{\Delta }_X(N)\cdot x=x+N,$

i la topología induïda en $X$ per l'uniformitat canònica és la mateixa que la topología en la que va començar $X$ (és dir, és $\tau$).

Continuïtat uniforme

Sean $X$ i $Y$ EVTs, i siguen $D\subseteq X,$ i $f:D\to Y$ dos aplicacions. Llavors, $f:D\to Y$ és ' si per a cada entorn $U$ de l'orige en $X,$ existix un entorn $V$ de l'orige en $Y$ tal que para tot $x,y\in D,$ si $y-x\in U$, llavors $f(y)-f(x)\in V.$

Suponga's que $f:D\to Y$ és contínua uniformement. Si $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ és una ret de Cauchy en $D$, llavors $f\circ x_{\bullet }={\left(f\left(x_i\right)\right)}_{i\in I}$ és una ret de Cauchy en $Y.$ Si $ℬ$ és un prefiltro de Cauchy en $D$ (lo que significa que $ℬ$ és una família de subconjunts de $D$ que és de Cauchy en $X$), llavors $f\left(ℬ\right)$ és un prefiltro de Cauchy en $Y.$ No obstant, si $ℬ$ és un filtre de Cauchy en $D$, encara que $f\left(ℬ\right)$ serà un filtre de Cauchy , serà un filtre Cauchy en $Y$ si i solament si $f:D\to Y$ és sobreyectiva.

Completitud de EVT front a completitud de (pseudo)mètriques

Preliminars: Espais pseudométricos complets

Artícul principal → Espai mètric complet.

En este apartat es revisen les nocions bàsiques relacionades en la teoria general d'espais pseudométricos complets. Recorde's que tota mètrica és una pseudométrica i que una pseudométrica $p$ és una mètrica si i solament si $p(x,y)=0$ implica que $x=y.$ Per lo tant, cada espai mètric és un espai pseudométrico i un espai pseudométrico $(X,p)$ és un espai mètric si i solament si $p$ és una mètrica.

Si $S$ és un subconjunt d'un espai pseudométrico $(X,d)$, llavors el diàmetro de $S$ es definix com

$\mathrm{diam}(S)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{}{\sup }\{d(s,t):s,t\in S\}.$

Un prefiltro $ℬ$ en un espai pseudométrico $(X,d)$ es denomina prefiltro $d$-Cauchy o simplement prefiltro de Cauchy si per a cada número real $r>0,$ hi ha algun $B\in ℬ$ tal que el diàmetro de $B$ siga menor que $r.$

Suponga's que $(X,d)$ és un espai pseudométrico. Una ret $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ en $X$ es denomina ret $d$-Cauchy o simplement ret de Cauchy si $\mathrm{Tails}\left(x_{\bullet }\right)$ és un prefiltro de Cauchy, lo que ocorre si i solament si:

Per a cada $r>0$ hi ha algun $i\in I$ tal que si $j,k\in I$ en $j\ge i$ i $k\ge i$ llavors $d(x_j,x_k)<r$

o de manera equivalent, si i solament si ${\left(d(x_j,x_k)\right)}_{(i,j)\in I\times I}\to 0$ en $ℝ.$ Açò és anàlec a la següent caracterisació de la convergència de $x_{\bullet }$ en un punt: si $x\in X,$ llavors $x_{\bullet }\to x$ en $(X,d)$ si i solament si ${(x_i,x)}_{i\in I}\to 0$ en $ℝ.$

Una successió de Cauchy és aquella que també és una ret de Cauchy.

Cada $p$ pseudométrica en un conjunt $X$ induïx la topología canònica habitual en $X,$ que es denota per ${\tau }_p$. També induïx una uniformitat canònica en $X,$ que es denota per ${𝒰}_p.$ La topología en $X$ induïda per l'uniformitat ${𝒰}_p$ és igual a ${\tau }_p.$ Un $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$o 728) en $X$ és de Cauchy sobre $p$ si i solament si és de Cauchy sobre l'uniformitat ${𝒰}_p.$ L'espai pseudométrico $(X,p)$ és un espai pseudométrico complet (respectivament, secuencialment complet) si i solament si $(X,{𝒰}_p)$ és un espai uniforme complet (respectivament, secuencialment complet). Ademés, l'espai pseudométrico $(X,p)$ (respectivament, l'espai uniforme $(X,{𝒰}_p)$) està complet si i solament si està secuencialment complet.

Un espai pseudométrico $(X,d)$ (per eixemple, un espai mètric) es denomina complet i $d$ es denomina pseudométrico complet si es complix alguna de les següents condicions equivalents:

1. Cada prefiltro de Cauchy en $X$ convergix a lo manco a un punt de $X.$
2. La mateixa declaració anterior, pero en la paraula "prefiltro" reemplaçada per "filtre".
3. Cada ret de Cauchy en $X$ convergix a lo manco a un punt de $X.$
   • Si $d$ és una mètrica en $X$, llavors qualsevol punt llímit és necessàriament únic i lo mateixa ocorre en els llímits dels prefiltros de Cauchy en $X.$
4. Cada successió de Cauchy en $X$ convergix a lo manco a un punt de $X.$
   • Per tant, per a demostrar que $(X,d)$ és complet, n'hi ha prou en considerar únicament les sucesións de Cauchy en $X$ (i no és necessari considerar les rets de Cauchy més generals).
5. L'uniformitat canònica en $X$ induïda per el $d$ pseudométrico és una uniformitat completa.

I si l'adició $d$ és una mètrica, llavors es pot agregar a esta llista:

6. Cada successió decreixent de boles tancades els diàmetros de les quals es reduïxen a $0$ té una intersecció no buida.

Pseudométrica completa i EVTs complets

Cada F espai i, per tant, també cada espai de Fréchet, espai de Banach i espai de Hilbert és un EVT complet. Tinga's en conte que cada espai F és un espai de Baire, pero hi ha espais normados que són de Baire pero no són de Banach.

Un $d$ pseudométrico en un espai vectorial $X$ es diu que és una Plantilla:Anclavissi $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ per a tots els vectores $x,y,z\in X.$

Suponga's que $(X,\tau )$ és un EVT pseudometrisable (per eixemple, un EVT metrisable) i que $p$ és en $X$ tal que la topología en $X$ induïda per $p$ siga igual a $\tau .$ Si $p$ és invariante a la translació, llavors $(X,\tau )$ és un EVT complet si i solament si $(X,p)$ és un espai pseudométrico complet.

Si $p$ és invariante a la translació, llavors és possible que $(X,\tau )$ siga un EVT complet, pero que $(X,p)$ siga un espai pseudométrico complet (consulte's esta nota a peu de pàgina per a vore un eixemple).

Normes completes i normes equivalents

Dos normes en un espai vectorial es denominen equivalents si i solament si induïxen la mateixa topología. Si $p$ i $q$ són dos normes equivalents en un espai vectorial $X$, llavors l'espai vectorial normado $(X,p)$ és un espai de Banach si i solament si $(X,q)$ és un espai de Banach. Consulte's esta nota al peu per a vore un eixemple d'una norma contínua en un espai de Banach que és equivalent a la norma donada d'eixe espai de Banach. Totes les normes en un espai vectorial de dimensió finita són equivalents i cada espai normado de dimensió finita és un espai de Banach. Cada espai de Banach és un EVT complet. Un espai normado és un espai de Banach (és dir, la seua mètrica canònica induïda per normes està completa) si i solament si està complet com a espai vectorial topològic.

Completaciones

Vore també: Completación (espai uniforme) i Completación (espai mètric)

Una completación d'un EVT $X$ és un EVT complet que conté un subespacio vectorial dens que és EVT-isomorfo a $X.$ En atres paraules, és un EVT $C$ complet en el que $X$ pot ser EVT-embebido com subespacio vectorial dens. Cada EVT integrat és un embebido uniforme.

Tot espai vectorial topològic té una completación. Ademés, cada EVT de Hausdorff té una completación de , que és necessàriament llevat EVTs única. No obstant, tots els EVTs, inclús aquells que són de Hausdorff, (ya) complets i/o metrisables, tenen infinites completaciones no de Hausdorff que són EVT-isomorfas entre sí.

Eixemples de completaciones

Per eixemple, l'espai vectorial que consta de funcions simples en valors escalares $f$ per als quals $|f{|}_p<\mathrm{\infty }$ (a on esta seminorma es definix de la forma habitual en térmens de l'integral de Lebesgue) es convertix en seminorma quan se li dota d'esta seminorma, lo que a la seua volta ho convertix en un espai pseudométrico i en un EVT incomplet que no és de Hausdorff. Qualsevol completación d'este espai és un espai seminormado complet no de Hausdorff que quan es determina el cocient pel tancament del seu orige (sobre obtindre un EVT de Hausdorff) dona com a resultat (un espai linealmente isométricamente-isomorfo a) el $L^p$-espai complet habitual de Hausdorff (dotat de la norma completa habitual $\Vert \cdot {\Vert }_p$).

Com un atre eixemple que demostra l'utilitat de les completaciones, les completaciones dels productes tensoriales topològics, com productes tensoriales proyectivos o productes tensoriales inyectivos, de l'espai de Banach ${\ell }^1(S)$ en un EVT $Y$ localment convexo de Hausdorff complet donen com resultat un EVT complet que és EVT-isomorfo a un espai ${\ell }^1(S;Y)$- "generalisat" que consta de funcions en valors $Y$ en $S$ (a on este EVT "generalisat" es definix de manera anàloga a l'espai original ${\ell }^1(S)$ de funcions en valors escalares en $S$). De manera similar, la completación del producte tensorial inyectivo del espai de funcions de prova $C^k$ en valors escalares en un EVT $Y$ d'este tipo és EVT-isomorfo a les funcions de prova EVT de $Y$-valuado $C^k$, definides de manera anàloga.

No unicitat de totes les completaciones

Com a mostra el següent eixemple, independentment de si un espai és de Hausdorff o ya està complet, cada espai vectorial topològic (EVT) té infinites completaciones no isomorfas.

No obstant, cada EVT de Hausdorff té una completación de que és única exceptuant isomorfismes de el EVT. No obstant, cada EVT de Hausdorff encara té infinites completaciones no isomorfas que no són de Hausdorff.

Eixemple (No unicitat de les completaciones): Siga $C$ qualsevol EVT complet i $I$ qualsevol EVT dotat en una topología no discreta, que es recorda que convertix a $I$ en un EVT complet. Ya que tant $I$ com $C$ són EVTs complets, també ho és el seu producte $I\times C.$ Si $U$ i $V$ són subconjunts oberts no buits de $I$ i $C,$ respectivament, llavors $U=I$ i $(U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\ne \varnothing ,$ lo que demostra que $\{0\}\times C$ és un subespacio dens de $I\times C.$ Aixina, per definició de "completación", $I\times C$ és una completación de $\{0\}\times C$ (no importa que $\{0\}\times C$ ya estiga complet). Llavors, en identificar $\{0\}\times C$ en $C,$ si $X\subseteq C$ és un subespacio vectorial dens de $C,$ llavors $X$ té tant $C$ com $I\times C$ com completaciones.

Completaciones de Hausdorff

Cada EVT de Hausdorff té una completación de que és única excloent isomorfismes de el EVT. No obstant, com es mostra dalt, cada EVT de Hausdorff encara té infinites completaciones no isomorfas que no són de Hausdorff.

Existència de completaciones de Hausdorff

Vore també: Filtres en topología

Un filtre de Cauchy $ℬ$ en un EVT $X$ es diu Plantilla:Anclavis si existix un filtre de Cauchy en $X$ que és estricte i menys fi que $ℬ$ (és dir, "estrictament menys fi que $ℬ$" significa que està contingut com un subconjunt propi de $ℬ$).

Si $ℬ$ és un filtre de Cauchy en $X$, llavors el filtre generat pel següent prefiltro:

$\{B+N:B\in ℬ\text{ y }N\text{ es un entorno de }0\text{ en }X\}$

és l'únic filtre mínim de Cauchy en $X$ que està contingut com un subconjunt de $ℬ.$ En particular, per a qualsevol $x\in X,$ el filtre d'entorn en $x$ és un filtre de Cauchy mínim.

Siga $𝕄$ el conjunt de tots els filtres mínims de Cauchy en $X$ i siga $E:X\to 𝕄$ l'aplicació definit enviant $x\in X$ al filtre d'entorn de $x$ en $X.$ Dote's a $𝕄$ en la següent estructura d'espai vectorial: Dau $ℬ,𝒞\in 𝕄$ i un escalar $s,$ deixe's que $ℬ+𝒞$ (respectivament, $sℬ$) denote el filtre de Cauchy mínim únic contingut en el filtre generat per $\{B+C:B\in ℬ,C\in 𝒞\}$ (respectivament, $\{sB:B\in ℬ\}$).

Per a cada entorn equilibrada $N$ de l'orige en $X,$ considere's que

$𝕌(N)\stackrel{\text{def}}{=}\{ℬ\in 𝕄:\text{ existe }B\in ℬ\text{ y un entorno }V\text{ del origen en }X\text{ tal que }B+V\subseteq N\}$

Si $X$ és de Hausdorff, llavors la colecció de tots els conjunts $𝕌(N),$ com $N$ comprén totes els entorns equilibrats de l'orige en $X,$ forma una topología vectorial en $𝕄$, lo que convertix a $𝕄$ en un EVT de Hausdorff complet. Ademés, l'aplicació $E:X\to 𝕄$ és un embebido d'un EVT en un subespacio vectorial dens de $𝕄.$.

Si $X$ és un EVT metrisable, llavors es pot construir una completación de Hausdorff de $X$ utilisant classes d'equivalència de sucesións de Cauchy en lloc de filtres mínims de Cauchy.

Completaciones que no són de Hausdorff

Esta subsección detalla cóm cada EVT $X$ que no siga de Hausdorff pot integrar-se en un EVT en un subespacio vectorial dens d'un EVT complet. La prova de que cada EVT de Hausdorff té una completación de Hausdorff està àmpliament disponible, per lo que este fet s'utilisarà (sense demostracions) per a provar que cada EVT que no és de Hausdorff també té una completación. Estos detalls a voltes són útils per a estendre els resultats de EVT de Hausdorff a EVT que no són de Hausdorff.

Siga $I=\mathrm{cl}\{0\}$ el tancament de l'orige en $X,$ a on $I$ està dotat de la seua topología subespacial induïda per $X$ (de modo que $I$ té una topología no discreta). Ya que $I$ té una topología trivial, es demostra fàcilment que cada subespacio vectorial de $X$ que és un complement algebraic de $I$ en $X$ siga necessàriament un complement topològic de $I$ en $X.$ Siga $H$ qualsevol complement topològic de $I$ en $X,$ que siga necessàriament un EVT de Hausdorff (ya que és EVT-isomorfo al cocient EVT $X/I$).

Ya que $X$ és la suma directa topològica de $I$ i $H$ (lo que significa que $X=I\oplus H$ pertany a la categoria de EVT), l'aplicació canònica

$I\times H\to I\oplus H=X\text{ dado por }(x,y)\mapsto x+y$

és un isomorfisme EVT. Siga $A:X=I\oplus H\to I\times H$ l'invers d'esta aplicació canònica (com a nota al marge, es deduïx que cada subconjunt obert i tancat $U$ de $X$ satisfà $U=I+U.$)

El EVT $H$ de Hausdorff es pot embeber en un EVT, pose's per cas, a través de l'aplicació ${\mathrm{In}}_H:H\to C,$ en un subespacio vectorial dens del seu completación $C.$ Ya que $I$ i $C$ estan complets, també ho està el seu producte $I\times C.$ Siga ${\mathrm{Id}}_I:I\to I$ l'aplicació d'identitat i observe's que l'aplicació producte ${\mathrm{Id}}_I\times {\mathrm{In}}_H:I\times H\to I\times C$ és un embebido d'un EVT l'image del qual és densa en $I\times C.$ Definir l'aplicació

$B:X=I\oplus H\to I\times C\text{ por }B\stackrel{\text{def}}{=}({\mathrm{Id}}_I\times {\mathrm{In}}_H)\circ A$

que és un embebido d'un EVT de $X=I\oplus H$ en un subespacio vectorial dens de el EVT complet $I\times C.$ Ademés, observe's que el tancament de l'orige en $I\times C$ és igual a $I\times \{0\},$ i que $I\times \{0\}$ i $\{0\}\times C$ són complements topològics en $I\times C.$

En resum, dau qualsevol complement algebraic (i per lo tant, topològic) $H$ de $I\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{cl}\{0\}$ en $X$ i donada qualsevol completación $C$ de el EVT de Hausdorff $H$, tal que $H\subseteq C,$ llavors el embebido natural

${\mathrm{In}}_H:X=I\oplus H\to I\oplus C$

és un embebido de EVT ben definit de $X$ en un subespacio vectorial dens de el EVT complet $I\oplus C$ a on, ademés,

$X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.$

Topología d'una completación

Dit d'una atra manera, si $C$ és una completación d'un EVT $X$ en $X\subseteq C$ i si $𝒩$ és una base d'entorns de l'orige en $X,$ llavors la família de conjunts

$\{{\mathrm{cl}}_{C}N:N\in 𝒩\}$

és una base d'entorns en l'orige en $C.$

Teorema de completitud de Grothendieck

Vore també: Filtres en topología

Siga $ℰ$ l'en l'espai dual continu $X^{\prime },$ que, per definició, consta de tots els subconjunts absolutament convexos *-débilment tancats equicontinuos i *-débilment acotats de $X^{\prime }$ (que són necessàriament subconjunts *-débilment compactes de $X^{\prime }$). Suponga's que cada $E^{\prime }\in ℰ$ està dotat d'una topología *-dèbil.

Es diu que un filtre $ℬ$ en $X^{\prime }$ a $x^{\prime }\in X^{\prime }$ si existix algun $E^{\prime }\in ℰ\cap ℬ$ que continga a $x^{\prime }$ (és dir, $x^{\prime }\in E^{\prime }$) de modo que la traça de $ℬ$ en $E^{\prime },$ que és la família $ℬ{|}_{E^{\prime }}\stackrel{\text{def}}{=}\{B\cap E^{\prime }:B\in ℬ\},$ convergix a $x^{\prime }$ en $E^{\prime }$ (és dir, si $ℬ{|}_{E^{\prime }}\to x^{\prime }$ en la topología *-dèbil). El filtre $ℬ$ convergix contínuament a $x^{\prime }$ si i solament si $ℬ-x^{\prime }$ convergix contínuament a l'orige, lo que succeïx si i solament si per a cada $x\in X,$ el filtre $⟨ℬ,x+𝒩⟩\to ⟨x^{\prime },x⟩$ en el camp escalar (que és $ℝ$ o $ℂ$) a on $𝒩$ denota qualsevol base d'un entorn en l'orige en $X,$ $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota l'emparejamiento dual i $⟨ℬ,x+𝒩⟩$ denota el filtre generat per $\{⟨B,x+N⟩:B\in ℬ,N\in 𝒩\}.$ Es diu que una aplicació $f:X^{\prime }\to T$ en un espai topològic (com $ℝ$ o $ℂ$) és si sempre que es filtra $ℬ$ en $X^{\prime }$ de convergix contínuament a $x^{\prime }\in X^{\prime },$ llavors $f(ℬ)\to f\left(x^{\prime }\right).$

Propietats preservades per les completaciones

Si un EVT $X$ té alguna de les següents propietats, també ho té la seua completación:

• Ser d'Hausdorff
• Ser localment convexa
• Ser pseudometrisable
• Ser metrisable
• Ser seminormable
• Ser normable
  • Ademés, si $(X,p)$ és un espai normado, llavors es pot elegir que la completación siga un espai de Banach $(B,q)$ de modo que el embebido en el EVT de $(X,p)$ en $(B,q)$ siga una isometría.
• Ser de Hausdorff prehilbertiana. És dir, un EVT induït per un espai prehilbertiano.
• Ser [Espai nuclear|nuclear]]
• Ser barrilado
• Ser de Mackey
• Ser un espai DF

Completaiones d'espais de Hilbert

Tot espai en producte intern $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ té una completación $(\bar{H},⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}})$ que és un espai de Hilbert, a on el producte intern $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}}$ és l'extensió contínua única a $\bar{H}$ del producte intern original $⟨\cdot ,\cdot ⟩.$. La norma induïda per $(\bar{H},⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}})$ és també l'extensió contínua única a $\bar{H}$ de la norma induïda per $⟨\cdot ,\cdot ⟩.$

Atres propietats conservades

Si $X$ és un EVT d'Hausdorff, llavors l'espai dual continu de $X$ és idèntic a l'espai dual continu de la completación de $X.$ La completación d'un espai bornológico localment convexo és un espai barrilado. Si $X$ i $Y$ són espais DF, llavors el producte tensorial proyectivo (aixina com el seu completación) d'estos espais és un espai DF.

La completación del producte tensorial proyectivo de dos espais nuclears és nuclear. La completación d'un espai nuclear és EVT-isomorfa en un llímit proyectivo d'espais de Hilbert.

Si $X=Y\oplus Z$ (lo que significa que l'aplicació suma $Y\times Z\to X$ és un isomorfisme EVT) té una completación de Hausdorff $C$, llavors $\left({\mathrm{cl}}_{C}Y\right)+\left({\mathrm{cl}}_{C}Z\right)=C.$ Si ademés $X$ és un espai prehilbertiano i $Y$ i $Z$ són complements ortogonals entre sí en $X$ (és dir, $⟨Y,Z⟩=\{0\}$), llavors ${\mathrm{cl}}_{C}Y$ i ${\mathrm{cl}}_{C}Z$ són complements ortogonals en l'espai de Hilbert $C.$

Propietats de les aplicacions conservades per les extensions fins a la seua completación

Si $f:X\to Y$ és un operador llineal nuclear entre dos espais localment convexos i si $C$ és una completación de $X$, llavors $f$ té una extensió llineal contínua única per a un operador llineal nuclear $F:C\to Y.$

Sean $X$ i $Y$ dos EVT de Hausdorff en $Y$ complet. Siga $C$ una completación de $X.$ Siga també $L(X;Y)$ l'espai vectorial d'operadors llineals continus i siga $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ l'aplicació que envia cada $f\in L(X;Y)$ a la seua única extensió llineal contínua en $C.$ Llavors, $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ és un isomorfisme (sobreyectivo) de l'espai vectorial. Ademés, $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ assigna famílies de subconjunts equicontinuos entre sí. Suponga's que $L(X;Y)$ està dotat d'una topología $𝒢$ i que $\mathscr{H}$ denota els tancaments en $C$ dels conjunts en $𝒢.$ Llavors, l'aplicació $I:L_{𝒢}(X;Y)\to L_{\mathscr{H}}(C;Y)$ també és un isomorfisme EVT.

Vore també

• Espai mètric complet
• Filtre (teoria de conjunts)
• Filtres en topología
• Espai vectorial topològic metrisable
• Espai pseudométrico
• Espai cuasi complet
• Successivament complet
• Grup topològic
• Espai uniforme

Bibliografia

• (1978) Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions (vol. 639), Berlin New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 297140003. ISBN 978-3-540-08662-8.
• (2006) Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Third edició, Berlin: Springer Science & Business Mija. OCLC 262692874. ISBN 978-3-540-29587-7.
• (1984) Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises (vol. 13), Dordrecht Boston: D. Reidel. OCLC 9944489. ISBN 978-90-277-1355-1.
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (vol. 15), New York: Springer. OCLC 878109401. ISBN 978-0-387-90081-0.
• (2017) Topological Vector Spaces and Their Applications, Cham, Switzerland: Springer International Publishing. OCLC 987790956. ISBN 978-3-319-57117-1.

• Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology: Chapters 1–4, Berlin New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 18588129. ISBN 978-3-540-64241-1.
• (1987) Topological Vector Spaces: Chapters 1–5, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 17499190. ISBN 3-540-13627-4.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis, 2nd edició (vol. 96), New York: Springer-Verlag. OCLC 21195908. ISBN 978-0-387-97245-9.
• Dixmier, Jacques (1984). General Topology, New York: Springer-Verlag. OCLC 10277303. ISBN 978-0-387-90972-1.
• (2016) Convergence Foundations Of Topology, New Jersey: World Scientific Publishing Company. OCLC 945169917. ISBN 978-981-4571-52-4.
• Dugundji, James (1966). Topology, Boston: Allyn and Bacon. OCLC 395340485. ISBN 978-0-697-06889-7.
• (1988) Linear Operators (vol. 1), New York: John Wiley & Sons. OCLC 18412261. ISBN 978-0-471-60848-6.
• Edwards (1995). Functional Analysis: Theory and Applications, New York: Dover Publications. OCLC 30593138. ISBN 978-0-486-68143-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces, New York: Gordon and Breach Science Publishers. OCLC 886098. ISBN 978-0-677-30020-7.
• Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions (vol. 1), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• (1978) Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces (vol. 692), Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Mija. OCLC 4493665. ISBN 978-3-540-09096-0.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Joshi, K. D. (1983). Introduction to General Topology, New York: John Wiley and Sons Ltd. OCLC 9218750. ISBN 978-0-85226-444-7.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.

• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II (vol. 237), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 180577972. ISBN 978-0-387-90400-9.
• Megginson, Robert E. (1998). An introduction to Banach space theory (vol. 183), New York: Springer-Verlag, pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Osborne, Mason Scott (2013). Locally Convex Spaces (vol. 269), Cham Heidelberg New York Dordrecht London: Springer Science & Business Mija. OCLC 865578438. ISBN 978-3-319-02045-7.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Schubert, Horst (1968). Topology, London: Macdonald & Co. OCLC 463753. ISBN 978-0-356-02077-8.
• Swartz, Charres (1992). An introduction to Functional Analysis, New York: M. Dekker. OCLC 24909067. ISBN 978-0-8247-8643-4.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Voigt, Jürgen (2020). A Course on Topological Vector Spaces, Cham: Birkhäuser Basel. OCLC 1145563701. ISBN 978-3-030-32945-7.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.
• Willard, Stephen (2004). General Topology, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 115240. ISBN 978-0-486-43479-7.
• Convex Analysis in General Vector Spaces, River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. OCLC 285163112. ISBN 978-981-4488-15-0.