Equicontinuidad

Sean $(X,𝒯)$ un espai topològic, $(Y,d)$ un espai mètric, i $x_0$ un punt en $X$. Un conjunt $H$ de funcions de $X$ en $Y$ es diu equicontinuo en $x_0$ si i solament si para tot $r>0,\mathrm{\exists }A$ entorn de $x_0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_0),r)$

Deu tindre's en conte que, en particular, si $H$ és equicontinuo en $x_0$, llavors totes les funcions que pertanyen a $H$ són contínues en $x_0$.

Es diu que $H$ és equicontinua si ho és para tot $x_0\in X$.

Eixemples

1. Si $H$ és una família finita de funcions contínues, llavors és equicontinua
2. Si $(X,𝒯)$ és mètric i totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues en una mateixa constant $K$, llavors $H$ és equicontinua
3. Si $X,Y\subseteq ℝ$, totes les funcions de $H$ són derivables, i existix una constant $K>0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,\mathrm{\forall }x\in X,|f^{\prime }(x)|<K$, llavors es complix que totes les funcions de $H$ són Lipschitz contínues de constant $K$, i per això, $H$ és equicontinuo.

Esta última propietat és una de les més usades per a verificar equicontinuidad d'una família de funcions.