Conjunt absolutament convexo

En matemàtiques, un subconjunt C d'un espai vectorial real o complex es diu que és absolutament convexo o en forma de disc si és convexo i equilibrat (alguns utilisen el terme circular en lloc de equilibrat), en el cas del qual es diu disc. L'envoltura de disc o enovoltura absolutament convexa d'un conjunt és l'intersecció de tots els discs que contenen eixe conjunt.

Definició

L'àrea en grisa clar és la envoltura absolutament convexa de la creu en grisa obscur.

Un subconjunt $S$ d'un espai vectorial (real o complex) $X$ es denomina disc i es diu que és absolutament convex i equilibrat si es complix alguna de les següents condicions equivalents:

$S$ és convexo i equilibrat.
per a qualssevol escalares $a$ i $b,$ si $| a | + | b | \leq 1$ llavors $a S + b S \subseteq S .$
para tots els escalares $a, b,$ i $c,$ si $| a | + | b | \leq | c |,$ llavors $a S + b S \subseteq c S .$
per a qualsevol escalar $a_{1}, \dots, a_{n}$ si $\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} | \leq 1$ llavors $a_{1} S + \dots + a_{n} S \subseteq S .$
per a qualsevol escalar $c, a_{1}, \dots, a_{n}$ si $\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} | \leq | c |$ llavors $a_{1} S + \dots + a_{n} S \subseteq c S .$

El menor subconjunt convexo (resp. equilibrat) de $X$ que conté a un conjunt es denomina envoltura convexa de dit conjunt i es denota per $co S$ (resp. $bal S$ ).

De la mateixa manera, es definix que una envolutra de disc, o envolutra absolutament convexa, d'un conjunt $S$ és el disc més chicotet (sobre l'inclusió de conjunts) que conté a $S .$ ^[1] La envoltura de disc de $S$ es denotarà per $disco S$ o $cobal S$ i és igual a cada u dels següents conjunts: $co (bal S),$ que és la envoltura convexa del envoltura equilibrada de $S$ ; aixina, $cobal S = co (bal S) .$

En general, $cobal S \neq bal (co S)$ és possible, inclús en espais vectorials de dimensió finita.
l'intersecció de tots els discs que contenen $S .$
${\sum_{i = 1}^{n} s_{i} x_{i} : n \in ℕ, x_{i} \in S, \sum_{i = 1}^{n} | s_{i} | \leq 1}$ , a on els $s_{i}$ són elements del cos subjacent.

Condicions suficients

l'intersecció d'un número arbitrari de conjunts absolutament convexos és de nou absolutament convexa; no obstant, l'unió d'un número arbitrari de conjunts absolutament convexos no necessiten ser ya absolutament convexos.

Si $D$ és un disc en $X,$ llavors $D$ és absorbent en $X$ si i només si $span D = X .$ {sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=67-113}}

Vore també

Referències

↑ Trèves, 2006, p. 68.

Bibliografia

Robertson, A.P. (1964). Topological vector spaces (vol. 53), Cambridge University Press, pp. 4–6.

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto absolutamente convexo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[FOOTNOTETrèves2006{{{c}}}68-1] Trèves, 2006, p. 68.

[1]