Anar al contingut

Conjunt equilibrat

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

En àlgebra llineal i àrees relacionades de les matemàtiques, un conjunt equilibrat, conjunt en círcul o disc en un espai vectorial (sobre un cos 𝕂 en una funció de valor absolut |⋅|) és un conjunt S tal que aS⊆S per a tots els escalares a que satisfacen |a|≤1.

L'envolvente equilibrada d'un conjunt S és el conjunt equilibrat més chicotet que conté a S. El núcleu equilibrat d'un conjunt S és el conjunt equilibrat més gran contingut en S.

Els conjunts equilibrats són ubics en anàlisis funcional perque cada entorn de l'orige en cada espai vectorial topològic (EVT) conté un entorn equilibrat de l'orige i cada entorn convex de l'orige conté un entorn de l'orige convex equilibrat (inclús si el EVT no és localment convexo). Este entorn també es pot elegir per a que siga un conjunt obert o, alternativament, un conjunt tancat.

Definició

Siga X un espai vectorial sobre el cos 𝕂 dels número real o dels número complex.

Notació

Si S és un conjunt, a és un escalar, i B⊆𝕂 llavors siga aS={as:s∈S} i BS={bs:b∈B,s∈S} i per a qualsevol 0≤r≤∞, siga

Br={a∈𝕂:|a|<r}and B≤r={a∈𝕂:|a|≤r}.

denoten, respectivament, la bola oberta i la bola tancada de radi r en el cos escalar 𝕂 centrat en 0 a on B0=∅,B≤0={0}, i B∞=B≤∞=𝕂. Cada subconjunt equilibrat del cos 𝕂 té la forma B≤r o Br per a algun 0≤r≤∞..

Conjunt equilibrat

Un subconjunt S de X es denomina conjunt equilibrat si satisfà qualsevol de les següents condicions equivalents:

  1. Definició: as∈S per a tots els s∈S i tots els escalares a que satisfan |a|≤1.
  2. aS⊆S per a tots els escalares a que satisfan |a|≤1.
  3. B≤1S⊆S (a on B≤1:={a∈𝕂:|a|≤1}).
  4. S=B≤1S.[1]
  5. Per cada s∈S, S∩𝕂s=B≤1(S∩𝕂s).
    • 𝕂s=expan⁡{s} és un subespacio vectorial dimensional 0 (si s=0) o 1 (si s≠0) de X.
    • Si R:=S∩𝕂s llavors l'igualtat anterior es convertix en R=B≤1R, que és exactament la condició prèvia per a que un conjunt estiga equilibrat. Per tant, S està equilibrat si i solament si per a cada s∈S, S∩𝕂s és un conjunt equilibrat (segons qualsevol de les condicions definitorias anteriors).
  6. Per a cada subespacio vectorial unidimensional Y de expan⁡S, S∩Y és un conjunt equilibrat (segons qualsevol condició definitoria distinta d'esta).
  7. Per a cada s∈S, existix algun 0≤r≤∞ tal que S∩𝕂s=Brs o S∩𝕂s=B≤rs.
  8. S és un subconjunt equilibrat de expan⁡S (segons qualsevol condició definitoria de "equilibrat" distinta d'esta).
    • Per lo tant, S és un subconjunt equilibrat de X si i solament si és un subconjunt equilibrat de cada (equivalentement, d'algun) espai vectorial sobre el camp 𝕂 que conté a S. Llavors, suponent que el camp 𝕂 està clar pel context, açò justifica escriure "S està equilibrat" sense mencionar cap espai vectorial.[nota 1]

Si S és un conjunt convexo, esta llista pot ampliar-se per a incloure:

  1. aS⊆S per a tots els escalares a que satisfan |a|=1.[2]

Si és 𝕂=ℝ, esta llista pot ampliar-se per a incloure:

  1. S és simètric (lo que significa que −S=S) i [0,1)S⊆S.

Envolvente equilibrada

equil⁡S=⋃|a|≤1aS=B≤1S

La envolvente equilibrada d'un subconjunt S de X, denotada per equil⁡S, es definix de qualsevol de les següents formes equivalents:

  1. Definició: equil⁡S és el subconjunt equilibrat més chicotet (sobre ⊆) de X que conté S.
  2. equil⁡S és l'intersecció de tots els conjunts equilibrats que contenen a S.
  3. equil⁡S=⋃|a|≤1(aS).
  4. equil⁡S=B≤1S.[1]

Núcleu equilibrat

nuequil⁡S={⋂|a|≥1aSsi 0∈S∅si 0∉S

El núcleu equilibrat d'un subconjunt S de X, denotat per nuequil⁡S, es definix de qualsevol de les següents formes equivalents:

  1. Definició: nuequil⁡S és el subconjunt equilibrat més gran (sobre ⊆) de S.
  2. nuequil⁡S és l'unió de tots els subconjunts equilibrats de S.
  3. nuequil⁡S=∅ si 0∉S mentres que nuequil⁡S=⋂|a|≥1(aS) si 0∈S.

Eixemples

El conjunt buit és un conjunt equilibrat, de la mateixa manera que ho és qualsevol subespacio vectorial de qualsevol espai vectorial (real o complex). En particular, {0} és sempre un conjunt equilibrat.

Qualsevol conjunt no buide que no continga l'orige no està equilibrat i, ademés, el núcleu equilibrat de dit conjunt serà igual al conjunt buit.

Espais vectorials normados i topològics

Les boles obertes i tancades centrades en l'orige en un espai vectorial normado són conjunts equilibrats. Si p és una seminorma (o norma) en un espai vectorial X, llavors per a qualsevol constant c>0, el conjunt {x∈X:p(x)≤c} està equilibrat.

Si S⊆X és qualsevol subconjunt i B1:={a∈𝕂:|a|<1}, llavors B1S és un conjunt equilibrat.

En particular, si U⊆X és qualsevol entorn equilibrat de l'orige en un espai vectorial topològic X llavors

IntXU⊆B1U=⋃0<|a|<1aU⊆U.

Conjunts equilibrats en ℝ i ℂ

Siga 𝕂 el cos dels número real ℝ o dels número complex ℂ,, de manera que |⋅| denote el valor absolut en 𝕂, i que X:=𝕂 denote l'espai vectorial sobre 𝕂.. Llavors, per eixemple, si 𝕂:=ℂ és el cos dels número complex, llavors X=𝕂=ℂ és un espai vectorial complex unidimensional, mentres que si 𝕂:=ℝ llavors X=𝕂=ℝ és un espai vectorial real unidimensional.


Els subconjunts equilibrats de X=𝕂 són exactament els següents:[3]

  1. ∅
  2. X
  3. {0}
  4. {x∈X:|x|<r} per a un r>0 real
  5. {x∈X:|x|≤r} per a un r>0 real

En conseqüència, tant el núcleu equilibrat com l'envolvente equilibrada de cada conjunt d'escalares són iguals a un dels conjunts enumerats anteriorment.

Els conjunts equilibrats són el propi ℂ, el conjunt buit i els discs oberts i tancats centrats en zero. Pel contrari, en l'espai euclídeo bidimensional hi ha molts més conjunts equilibrats: qualsevol segment de recta en punt mig en l'orige servirà com a eixemple. En conseqüència, ℂ i ℝ2 són completament diferents pel que fa a la multiplicació escalar.

Conjunts equilibrats en ℝ2

En tot moment, siga X=ℝ2 (per lo que X és un espai vectorial sobre ℝ) i siga B≤1 la bola unitària tancada en X centrada en l'orige.

Si x0∈X=ℝ2 és distint de zero i L:=ℝx0,, llavors el conjunt R:=B≤1∪L és un entorn tancat, simètric i equilibrat en l'orige en X. Més generalment, si C és un subconjunt tancat de X tal que (0,1)C⊆C, llavors S:=B≤1∪C∪(−C) és un subconjunt tancat, simètric i entorn equilibrat de l'orige en X. Este eixemple es pot generalisar a ℝn per a qualsevol número entero n≥1.

Siga B⊆ℝ2 l'unió del segment de recta entre els punts (−1,0) i (1,0) i el segment de recta entre (0,−1) i (0,1).. Llavors B és equilibrat pero no convexo. B tampoc és absorbent (a pesar de que expan⁡B=ℝ2 és tot l'espai vectorial).

Per a cada 0≤t≤π, siga rt qualsevol número real positiu i siga Bt el segment de recta (obert o tancat) en X:=ℝ2 entre els punts (cos⁡t,sin⁡t) i −(cos⁡t,sin⁡t). Llavors, el conjunt B=⋃0≤t<πrtBt és un conjunt equilibrat i absorbent, pero no és necessàriament convexo.

No és necessari tancar l'envolvente equilibrada d'un conjunt tancat. Prenga's, per eixemple, la gràfica de xy=1 en X=ℝ2.

El següent eixemple mostra que l'envolvente equilibrada d'un conjunt convex pot no ser convexa (no obstant, la envolvente convexa d'un conjunt equilibrat sempre està equilibrada). Per eixemple, suponga's que el subconjunt convex siga S:=[−1,1]×{1}, que és un segment rectilíneo tancat horisontal que es troba sobre l'eix x− en X:=ℝ2.. La envolvente equilibrada equil⁡S és un subconjunt no convex que té "forma de rellonge d'arena" i igual a l'unió de dos triànguls isósceles tancats i plens. T1 i T2, a on T2=−T1 i T1 és el triàngul reblixc els vèrtiços del qual són l'orige junt en els punts finals de S (dit d'una atra manera, T1 és l'envolvente convexa de S∪{(0,0)}, a on T2 és la envolvente convexa de (−S)∪{(0,0)}).

Condicions suficients

Un conjunt T està equilibrat si i solament si és igual al seu envolvente equilibrada equil⁡T o al seu núcleu equilibrat nuequil⁡T,, en el cas del qual els tres conjunts són iguals: T=equil⁡T=nuequil⁡T.

El producte cartesiano d'una família de conjunts equilibrats està equilibrat en la topología producte dels espais vectorials corresponents (sobre el mateix cos 𝕂).

  • La envolvente equilibrada d'un conjunt compacte (respectivament, totalment acotada i acotat) té la mateixa propietat.[4]
  • La envolvente convexa d'un conjunt equilibrat és convexa i equilibrada (és dir, és absolutament convexa). No obstant, la envolvente equilibrada d'un conjunt convex pot no ser convexa (més dalt s'oferix un contraeixemple).
  • Les unions arbitràries de conjunts equilibrats estan equilibrades, i lo mateixa ocorre en les interseccions arbitràries de conjunts equilibrats.
  • Els múltiples escalares i les sumixques de Minkowski (finitas) de conjunts equilibrats tornen a estar equilibrats.
  • Les imàgens i les preimágenes de conjunts equilibrats baix aplicacions llineals tornen a estar equilibrades. Explícitament, si L:X→Y és una aplicació llineal i B⊆X i C⊆Y són conjunts equilibrats, llavors L(B) i L−1(C) són conjunts equilibrats.

Entorn equilibrat

En qualsevol espai vectorial topològic, el tancament d'un conjunt equilibrat és equilibrat.[5] L'unió de l'orige {0} i l'interior d'un conjunt equilibrat és equilibrat. Per tant, l'interior topològic d'un entorn equilibrat de l'orige és equilibrat.[5][proof 1] No obstant, {(z,w)∈ℂ2:|z|≤|w|} és un subconjunt equilibrat de X=ℂ2 que conté l'orige (0,0)∈X pero l'interior topològic del qual (no buit) no conté l'orige i, per lo tant, no és un conjunt equilibrat.[6] De manera similar, per a espais vectorials reals, si T denota la envolvente convexa de (0,0) i (±1,1) (un triàngul ple els vèrtiços del qual són estos tres punts), llavors B:=T∪(−T) és un subconjunt equilibrat (en forma de rellonge d'arena) de X:=ℝ2 l'interior topològic de la qual no buide no conté l'orige i, per tant, no és un conjunt equilibrat (i encara que el conjunt {(0,0)}∪IntXB format sumant l'orige està equilibrat, no és un conjunt obert ni una entorn de l'orige).


Cada entorn (respectivament, entorn convexo) de l'orige en un espai vectorial topològic X conté un entorn obert equilibrat (respectivament, convex i equilibrat) de l'orige. De fet, la següent construcció produïx conjunts equilibrats. Dau W⊆X,, el conjunt simètric ⋂|u|=1uW⊆W serà convex (respectivament, tancat, equilibrat, acotat, un entorn de l'orige, i un subconjunt absorbent de X) sempre que açò siga cert per a W. Serà un conjunt equilibrat si W és un domini en estrela en l'orige,[nota 2] lo que és cert, per eixemple, quan W és convex i conté a 0. En particular, si W és un entorn convex de l'orige, llavors ⋂|u|=1uW serà un entorn convex de l'orige i, per lo tant, el seu interior serà un entorn convex equilibrat de l'orige.[5]


Suponga's que W és convex i un subconjunt absorbent de X. Llavors D:=⋂|u|=1uW serà un subconjunt absorbent convex equilibrat de X,, lo que garantisa que el funcional de Minkowski pD:X→ℝ de D serà una seminorma en X, convertint aixina a (X,pD) en una seminorma que du la seua topología canònica pseudometrisable. El conjunt de múltiples escalares rD com r s'estén sobre {12,13,14,…} (o sobre qualsevol atre conjunt d'escalares distints de zero que tinga 0 com a punt llímit) forma una base de l'entorn per a absorbir discs en l'orige d'esta topología localment convexa. Si X és un espai vectorial topològic i si este subconjunt absorbent convex W també és un subconjunt acotat de X, llavors lo mateix serà cert per al disc absorbent D:=⋂|u|=1uW;, si ademés D no conté cap subespacio vectorial no trivial, llavors pD serà una norma i (X,pD) formarà lo que es coneix com espai normado auxiliar.[7] Si este espai normado és un espai de Banach, llavors D es denomina .

Vore també

Referències

  1. ↑ 1,0 1,1 Swartz, 1992, pp. 4-8.
  2. ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 107-110.
  3. ↑ Jarchow, 1981, p. 34.
  4. ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 156-175.
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Rudin, 1991, pp. 10-14.
  6. ↑ Rudin, 1991, p. 38.
  7. ↑ Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.

Notes

Demostracions

Bibliografia

  • Edwards (1995). Functional Analysis: Theory and Applications, New York: Dover Publications. OCLC 30593138. ISBN 978-0-486-68143-6.
  • Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
  • Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
  • Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II (vol. 237), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 180577972. ISBN 978-0-387-90400-9.
  • Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
  • (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
  • Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
  • Handbook of Analysis and Its Foundations (en en), Academic Press. ISBN 978-0-08-053299-8.
  • Swartz, Charres (1992). An introduction to Functional Analysis, New York: M. Dekker. OCLC 24909067. ISBN 978-0-8247-8643-4.
  • Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
  • Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.


Referències



Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nota", pero no es trobà una etiqueta <references group="nota"/>
Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "proof", pero no es trobà una etiqueta <references group="proof"/>

Obtingut de «https://lenciclopedia.org/w/index.php?title=Conjunt_equilibrat&oldid=1391176»