Domini en estrela

Un domini en estrela (equivalentement, un conjunt convex estrelat o en forma d'estrela) no és necessàriament convexo en el sentit comú del terme

En geometria, un conjunt $S$ en un espai euclídeo ${ℝ}^n$ es denomina domini en estrela (o conjunt convex estrelat, conjunt en forma d'estrela o conjunt radialment convexo) si existix un $s_0\in S$ tal que para tots els $s\in S,$ el segment de $s_0$ a $s$ es trobe en $S.$ Esta definició es pot generalisar immediatament a qualsevol espai vectorial real o complex.

Intuitivament, si es pensa en

$S$

com una regió rodejada per una paret,

$S$

és un domini estelar si es pot trobar un punt de vista

$s_0$

en

$S$

des del qual qualsevol punt

$s$

de

$S$

estiga dins de la seua llínea de visió. Un concepte similar, pero distint, és el de conjunt radial.

Definició

Una corona circular no és un domini en estrela

Daus dos punts $x$ i $y$ en un espai vectorial $X$ (com l'espai euclídeo ${ℝ}^n$), l'envolvente convexa de $\{x,y\}$ es diu i es denota per

$[x,y]:=\{tx+(1-t)y:0\le t\le 1\}=x+(y-x)[0,1],$

a on $z[0,1]:=\{zt:0\le t\le 1\}$ per a cada vector $z$.

Un subconjunt $S$ d'un espai vectorial $X$ es diu que té des de $s_0\in S$ si per a cada $s\in S,$ l'interval tancat $[s_0,s]\subseteq S.$

Un conjunt $S$ té i es diu si existix algun punt $s_0\in S$ tal que $S$ tinga forma d'estrela des de $s_0.$.

Un conjunt que té forma d'estrela en l'orige a voltes es denomina . Estos conjunts estan tancats en relació en el funcional de Minkowski.

Eixemples

• Qualsevol recta o pla en ${ℝ}^n$ és un domini en estrela.
• Una recta o un pla al que se li ha eliminat un sol punt no és un domini en estrela.
• Si $A$ és un conjunt en ${ℝ}^n,$, el conjunt $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ obtingut en conectar tots els punts en $A$ en l'orige és un domini en estrela.
• Qualsevol conjunt convexo no buit és un domini en estrela. Un conjunt és convex si i solament si és un domini en estrela sobre qualsevol punt d'eixe conjunt.
• Una figura en forma de creu és un domini en estrela, pero no és convexa.
• Un polígon en forma d'estrela és un domini en estrela el llímit de la qual és una seqüència de segments rectilíneos conectats entre sí.

Vore també

• Conjunt absolutament convexo
• Problema de la galeria d'art
• Convexidad
• Estrela (figura geomètrica)

Bibliografia

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Prensa de l'Universitat de Cambridge, 1983, ISBN 0-521-28763-4, MR 0698076
• C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, vol. 75, núm. 4 (abril de 1968). p.386, MR 0227724, Plantilla:JSTOR
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Séries in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135
• Schechter, Eric (1996).Handbook of Analysis and Its Foundations. Sant Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365