Espai normado auxiliar

En anàlisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) va amprar sistemàticament dos métodos per a construir espais normados a partir de discs en la finalitat de definir operadors nuclears i espais nuclears:

• El primer d'estos métodos s'utilisa si el disc $D$ està acotat. En este cas, el espai normado auxiliar és $\mathrm{expan}D$, en la norma

$p_D(x):=\underset{x\in rD,r>0}{\inf }r.$

• L'atre método s'utilisa si el disc $D$ és absorbent. En este segon cas, l'espai normado auxiliar és l'espai cocient $X/p_D^{-1}(0).$

Si el disc està acotat i és absorbent, llavors els dos espais normados auxiliars són canónicamente isomorfos (com espais vectorials topològics i espais normados).

Induït per un disc acotat – Discs de Banach

En este artícul, $X$ serà un espai vectorial real o complex (encara que no necessàriament un EVT) i $D$ serà un disc en $X.$

Espai seminormado induït per un disc

Siga $X$ un espai vectorial real o complex. Per a qualsevol subconjunt $D$ de $X,$ el Funcional de Minkowski de $D$ es definix per: Si $D=\varnothing$, llavors definix $p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\mathrm{\infty })$ com l'aplicació trivial $p_{\varnothing }=0$ i s'assumirà que $\mathrm{expan}\varnothing =\{0\}.$ Si $D\ne \varnothing$ i si $D$ és absorbent en $\mathrm{expan}D$, llavors denota el funcional de Minkowski de $D$ en $\mathrm{expan}D$ per

$p_D:\mathrm{expan}D\to [0,\mathrm{\infty })$

a on para tots els $x\in \mathrm{expan}D,$ açò es definix per :$p_D(x):=\underset{}{\inf }\{r:x\in rD,r>0\}.$

Siga $X$ un espai vectorial real o complex. Per a qualsevol subconjunt $D$ de $X$ tal que el $p_D$ funcional de Minkowski siga una seminorma en $\mathrm{expan}D,$ denote's per $X_D$

$X_D:=(\mathrm{expan}D,p_D)$

que es denomina seminorma induïda per $D,$ a on si $p_D$ és una norma, llavors es diu espai normado induït per $D.$

Supost (Topología): $X_D=\mathrm{expan}D$ està dotat de la topología de la seminorma induïda per $p_D,$ que es denotarà per ${\tau }_D$ o ${\tau }_{p_D}.$

És important destacar que esta topología sorgix "completament" del conjunt $D,$ l'estructura algebraica de $X,$ i la topología habitual en $ℝ$ (ya que $p_D$ es definix usant el conjunt $D$ i la multiplicació escalar). Açò justifica l'estudi dels discs de Banach i és part de la raó per la que juguen un paper important en la teoria d'operadors nuclears i espais nuclears.

L'aplicació d'inclusió ${\mathrm{In}}_D:X_D\to X$ es denomina "aplicació canònica".

Suponga's que $D$ és un disc. Llavors, $\mathrm{expan}D={\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}nD$ per a que $D$ siga absorbent en $\mathrm{expan}D,$ el sistema generador de $D.$ El conjunt $\{rD:r>0\}$ de tots els múltiples escalares positius de $D$ forma una base en l'entorn de l'orige per a una topología induïda en un espai localment convexo ${\tau }_D$ en $\mathrm{expan}D.$ El funcional de Minkowski del disc $D$ en $\mathrm{expan}D$ garantisa que $p_D$ estiga ben definit i forme una seminorma en $\mathrm{expan}D.$ La topología localment convexa induïda per esta seminorma és la topología ${\tau }_D$ que es va definir anteriorment.

Definició de disc de Banach

Un disc acotat $D$ en un espai vectorial topològic $X$ tal que $(X_D,p_D)$ siga un espai de Banach, es denomina disc de Banach, infracompleto o completante acotat en $X.$

Si es mostra que $(\mathrm{expan}D,p_D)$ és un espai de Banach, llavors $D$ serà un disc de Banach en que continga $D$ com un subconjunt acotat.

Açò es deu a que el funcional $p_D$ de Minkowski es definix en térmens purament algebraics. En conseqüència, la qüestió de si $(X_D,p_D)$ forma o no un espai de Banach depén únicament del disc $D$ i de $p_D,$ el funcional de Minkowski, i no de cap topología de el EVT particular que $X$ puga tindre induïda. Per lo tant, el requisit de que un disc de Banach en un EVT $X$ siga un subconjunt acotat de $X$ és l'única propietat que vincula la topología d'un disc de Banach en la topología de el EVT $X$ que ho conté.

Propietats dels espais seminormados induïts per un disc

Discs acotats

El següent resultat explica per qué és necessari llimitar els discs de Banach.

Hausdorffsidad

L'espai $(X_D,p_D)$ és d'Hausdorff si i solament si $p_D$ és una norma, lo que ocorre si i solament si $D$ no conté cap subespacio vectorial no trivial. En particular, si existix una topología en un EVT de Hausdorff $X$, de modo que $D$ estiga acotat en $X$, llavors $p_D$ és una norma. Un eixemple en el que $X_D$ no és de Hausdorff s'obté deixant que $X={ℝ}^2$ i deixant que $D$ siga l'eix $x$.

Convergència de rets

Suponga's que $D$ és un disc en $X$ tal que $X_D$ és de Hausdorff i siga $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ una ret en $X_D.$ Llavors, $x_{\bullet }\to 0$ en $X_D$ si i solament si existix un $r_{\bullet }={\left(r_i\right)}_{i\in I}$ ret de número real tal que $r_{\bullet }\to 0$ i $x_i\in r_{i}D$ para tot $i$; ademés, en este cas s'assumirà sense pèrdua de generalitat que $r_i\ge 0$ para tot $i.$

Relació entre espais induïts per un disc

Si $C\subseteq D\subseteq X$, llavors $\mathrm{expan}C\subseteq \mathrm{expan}D$ i $p_D\le p_C$ en $\mathrm{expan}C,$ es definix la següent aplicació llineal contínua:

Si $C$ i $D$ són discs en $X$ en $C\subseteq D$, llavors denomine's a l'aplicació d'inclusió ${\mathrm{In}}_C^D:X_C\to X_D$ la "inclusió canònica" de $X_C$ en $X_D.$

En particular, la topología subespacial que $\mathrm{expan}C$ hereta de $(X_D,p_D)$ és més dèbil que la topología induïda per la seminorma de $(X_C,p_C)$.

El disc com a bola unitària tancada

El disc $D$ és un subconjunt tancat de $(X_D,p_D)$ si i solament si $D$ és la bola unitària tancada de la seminorma $p_D$; açò és

$D=\{x\in \mathrm{expan}D:p_D(x)\le 1\}.$

Si $D$ és un disc en un espai vectorial $X$ i si existix una topología EVT $\tau$ en $\mathrm{expan}D$ tal que $D$ és un subconjunt tancat i acotat de $(\mathrm{expan}D,\tau ),$ llavors $D$ és la bola unitària tancada de $(X_D,p_D)$ (és dir, $D=\{x\in \mathrm{expan}D:p_D(x)\le 1\}$) (vore nota el peu per a la seua demostració).

Condicions suficients per a un disc de Banach

La següent teorema es pot utilisar per a establir que $(X_D,p_D)$ és un espai de Banach.

Una volta establit açò, $D$ serà un disc Banach en qualsevol EVT en el que $D$ estiga acotat.

Tinga en conte que inclús si $D$ no és un subconjunt acotat i secuencialment complet de qualsevol EVT de Hausdorff, encara es podria concloure que $(X_D,p_D)$ és un espai de Banach aplicant esta teorema a algun disc $K$ que satisfaça

$\{x\in \mathrm{expan}D:p_D(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in \mathrm{expan}D:p_D(x)\le 1\}$

perque $p_D=p_K.$

Les següents són conseqüències de la teorema anterior:

Un disc acotat secuencialment complet en un EVT de Hausdorff és un disc de Banach. Qualsevol disc en un EVT de Hausdorff que estiga complet i acotat (per eixemple, compacte) és un disc de Banach. La bola tancada unitat en un espai de Fréchet està secuencialment completa i, per lo tant, és un disc de Banach.

Suponga's que $D$ és un disc acotat en un EVT $X.$

Si $L:X\to Y$ és una aplicació llineal contínua i $B\subseteq X$ és un disc de Banach, llavors $L(B)$ és un disc de Banach i $L{|}_{X_B}:X_B\to L\left(X_B\right)$ induïx un isomorfisme sobre el EVT $Y_{L(B)}\cong X_B/(X_B\cap \ker L).$

Propietats dels discs de Banach

Siga $X$ un EVT i $D$ siga un disc llimitat en $X.$

Si $D$ és un disc de Banach acotat en un espai localment convex de Hausdorff $X$, i si $T$ és barrilado en $X$, llavors $T$ absorbix a $D$ (és dir, hi ha un número $r>0$ tal que $D\subseteq rT.$

Si $U$ és un entorn tancat equilibrat convex de l'orige en $X$, llavors la colecció de tots els entorns $rU,$ a on $r>0$ comprén els número real positius, induïx una topología d'espai vectorial topològic en $X.$ Quan $X$ té esta topología, es denota per $X_U.$ Ya que la topología no és necessàriament de Hausdorff ni completa, la completación de l'espai de Hausdorff $X/p_U^{-1}(0)$ es denota per $\overline{X_U}$, de modo que $\overline{X_U}$ és un espai de Hausdorff complet i $p_U(x):=\underset{x\in rU,r>0}{\inf }r$ és una norma en este espai que convertix a $\overline{X_U}$ en un espai de Banach. El polar de $U,$ $U^{\circ },$ és un disc equicontinuo acotat débilment compacte en $X^{\prime }$ i, per lo tant, és infracompleto.

Si $X$ és un EVT metrisable localment convexo, llavors per a cada subconjunt acotat $B$ de $X,$ existix un disc $D$ acotat en $X$ tal que $B\subseteq X_D,$ i tant $X$ com $X_D$ induïxen la mateixa topología del subespacio en $B.$

Induït per un disc radial – cocient

Suponga's que $X$ és un espai vectorial topològic i $V$ és un conjunt convexo equilibrat i radial. Llavors, $\{\frac{1}{n}V:n=1,2,\dots \}$ és una base de l'entorn en l'orige per a alguna topología localment convexa ${\tau }_V$ en $X.$ Esta topología de EVT ${\tau }_V$ està donada pel funcional de Minkowski, i està formada per $V,$ $p_V:X\to ℝ,$ que és una seminorma en $X$ definida per $p_V(x):=\underset{x\in rV,r>0}{\inf }r.$

La topología ${\tau }_V$ és de Hausdorff si i solament si $p_V$ és una norma, o equivalentement, si i solament si $X/p_V^{-1}(0)=\{0\}$ o equivalent, per ad açò basta que $V$ estiga acotat en $X.$ La topología ${\tau }_V$ no té per qué ser de Hausdorff, pero $X/p_V^{-1}(0)$ sí que ho és. $X/p_V^{-1}(0)$ induïx una norma sobre $\Vert x+X/p_V^{-1}(0)\Vert :=p_V(x),$ a on este valor és, de fet, independent del representant de la classe d'equivalència $x+X/p_V^{-1}(0)$ elegida. L'espai normado $(X/p_V^{-1}(0),\Vert \cdot \Vert )$ es denota per $X_V$ i el seu completación es denota per $\overline{X_V}.$

Si ademés, $V$ està acotat en $X$, llavors la seminorma $p_V:X\to ℝ$ és una norma, per lo que en particular, $p_V^{-1}(0)=\{0\}.$ En este cas, es pren $X_V$ com l'espai vectorial $X$ en lloc de $X/\{0\}$, de modo que la notació $X_V$ no siga ambigua (si $X_V$ denota l'espai induït per un disc radial o l'espai induït per un disc acotat).

La topología cocient ${\tau }_Q$ en $X/p_V^{-1}(0)$ (heretada de la topología original de $X$) és més fina (en general, estrictament més fina) que la topología normal.

Aplicacions canòniques

La aplicació canònica és la classe d'equivalència $q_V:X\to X_V=X/p_V^{-1}(0),$ que és contínua quan $X_V$ té la topología normal o la topología del cocient.

Si $U$ i $V$ són discs radials tals com $U\subseteq V$, llavors $p_U^{-1}(0)\subseteq p_V^{-1}(0)$, per lo que existix una aplicació canònica sobreyectiva llineal contínua $q_{V,U}:X/p_U^{-1}(0)\to X/p_V^{-1}(0)=X_V$, definida enviant $x+p_U^{-1}(0)\in X_U=X/p_U^{-1}(0)$ a la classe d'equivalència $x+p_V^{-1}(0),$ a on es pot verificar que la definició no depén del representant de la classe d'equivalència $x+p_U^{-1}(0)$ que s'elegixca.

Esta aplicació canònica té la norma $\le 1$, i posseïx una extensió canònica llineal contínua única a $\overline{X_U}$ que es denota per $\overline{g_{V,U}}:\overline{X_U}\to \overline{X_V}.$

Suponga's ademés que $B\ne \varnothing$ i $C$ són discs acotats en $X$ en $B\subseteq C$, de modo que $X_B\subseteq X_C$ i l'inclusió ${\mathrm{In}}_B^C:X_B\to X_C$ siga una aplicació llineal contínua. Sean ${\mathrm{In}}_B:X_B\to X,$ ${\mathrm{In}}_C:X_C\to X,$ i ${\mathrm{In}}_B^C:X_B\to X_C$ les aplicacions canòniques. Llavors, ${\mathrm{In}}_C={\mathrm{In}}_B^C\circ {\mathrm{In}}_C:X_B\to X_C$ i $q_V=q_{V,U}\circ q_U.$

Vore també

• Espai bornológico
• Espai localment convexo
• Topología inicial
• Producte tensorial d'espais de Hilbert
• Espai ultrabornológico

Bibliografia

• (1995).«Some remarks about Mackey convergence».International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.Hindawi Limited.18(4)

659–664.ISSN 0161-1712.doi:10.1155/s0161171295000846.

• Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited (vol. 16), Providence, R.I.: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 9781470424831.
• Dubinsky, Ed (1979). The Structure of Nuclear Fréchet Spaces (vol. 720), Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126156. ISBN 978-3-540-09504-0.

• “{{{title}}}” [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces] (fr) . Memoirs of the American Mathematical Society Séries 16. OCLC 1315788.
• Hogbe-Nlend (1977). Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis (vol. 26), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316549583. ISBN 978-0-08-087137-0.
• (1981) Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology" (vol. 52), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316564345. ISBN 978-0-08-087163-9.
• (1978) Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces (vol. 692), Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Mija. OCLC 4493665. ISBN 978-3-540-09096-0.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces, Second edició (vol. 66), Berlin, New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 978-0-387-05644-9.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products (vol. 726), Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 978-3-540-09513-2.