Espai nuclear

En matemàtiques, els espais nuclears són espais vectorials topològics que poden vore's com una generalisació del espai euclídeo de dimensió finita, en els que compartixen moltes de les seues propietats desijables. No obstant, són prou diferents dels espais de Hilbert, una atra generalisació dels espais euclídeos de dimensió finita. Varen ser presentats per Alexander Grothendieck.

La topología dels espais nuclears es pot definir per mig d'una família de seminormas que les seues boles unitàries disminuïxen ràpidament de tamany. Els espais vectorials els elements dels quals són "suaus" en algun sentit tendixen a ser espais nuclears. Un eixemple típic d'un espai nuclear és el conjunt de les funcions infinitament diferenciables en una varietat compacta. Tots els espais vectorials de dimensió finita són nuclears. No hi ha espais de Banach que siguen nuclears, llevat els de dimensió finita. En la pràctica, a sovint es presenta una espècie de cas contrari: si un espai vectorial topològic "que apareix naturalment" és un espai de Banach, llavors és molt provable que siga un espai nuclear.

Motivació original: la teorema del núcleu de Schwartz

Vore també: Teoria de distribucions i Teorema del núcleu de Schwartz

Gran part de la teoria dels espais nuclears va ser desenrollada per Alexander Grothendieck mentres investigava el teorema del núcleu de Schwartz, treball publicat en 1955.

Per a qualsevol subconjunt obert ${\Omega }_1\subseteq {ℝ}^m$ i ${\Omega }_2\subseteq {ℝ}^n,$ l'aplicació canònica ${𝒟}^{\prime }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)\to L_b(C_c^{\mathrm{\infty }}\left({\Omega }_2\right);{𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right))$ és un isomorfisme de EVTs (a on $L_b(C_c^{\mathrm{\infty }}\left({\Omega }_2\right);{𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right))$ té topología de convergència uniforme en subconjunts acotats) i, ademés, abdós espais són canónicamente EVTs-isomorfos a ${𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right)\hat{\otimes }{𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_2\right)$ (a on, ya que ${𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right)$ és nuclear, este producte tensorial és simultàneament el producte tensorial inyectivo i el producte tensorial proyectivo). En resum, la teorema del núcleu de Schwartz establix que:

${𝒟}^{\prime }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)\cong {𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right)\hat{\otimes }{𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_2\right)\cong L_b(C_c^{\mathrm{\infty }}\left({\Omega }_2\right);{𝒟}^{\prime }\left({\Omega }_1\right))$

a on tots estos espais vectorials topològics són canònics.

Este resultat és fals si es reemplaça l'espai $C_c^{\mathrm{\infty }}$ per $L^2$ (que és un espai reflexiu que és inclús isomorfo al seu propi espai dual fort) i es reemplaça ${𝒟}^{\prime }$ pel dual d'este espai $L^2$. ¿Per qué un resultat en tantes possibilitats és vàlit per a l'espai de distribucions i funciones de prova, pero no per al espai de Hilbert $L^2$ (que generalment es considera un dels EVTs "en millor comportament")? Esta pregunta va dur a Grothendieck a descobrir els espais nuclears, les aplicacions nuclears i el producte tensorial inyectivo.

Motivacions geomètriques

Un atre conjunt d'eixemples motivadores prové directament de la geometria i de la teoria de varietats suaus^{appendix 2}. Donades les varietats suaus $M,N$ i un espai vectorial topològic de Hausdorff localment convexo, existixen els següents isomorfismes d'espais nuclears

• $C^{\mathrm{\infty }}(M)\otimes C^{\mathrm{\infty }}(N)\cong C^{\mathrm{\infty }}(M\times N)$
• $C^{\mathrm{\infty }}(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f\text{ es suave }\}$

Definició

Esta secció enumera algunes de les definicions més comunes d'espai nuclear. Les definicions següents són totes equivalents. Tinga's en conte que alguns autors utilisen una definició més restrictiva d'espai nuclear, afegint la condició de que l'espai també deu ser un espai de Fréchet (açò significa que l'espai està complet i la topología està donada per una família de seminormas ).

Grothendieck va utilisar la següent definició per a caracterisar els espais nuclears:

Definició 0: Siga $X$ un espai vectorial topològic localment convexo. Llavors, $X$ és nuclear si per a qualsevol espai localment convexo $Y,$ l'espai vectorial canònic que inclou $X{\otimes }_{\pi }Y\to {ℬ}_{ϵ}(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime })$ és un embebido d'un EVT l'image del qual és densa en el codominio (a on el domini $X{\otimes }_{\pi }Y$ és el producte tensorial proyectivo i el codominio és l'espai de totes les formes bilineales contínues per separat en $X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }$ dotat de la topología de convergència uniforme en subconjunts equicontinuos).

En primer lloc es recorden alguns antecedents. Un espai localment convexo $X$ té una topología definida per alguna família de seminormas. Per a qualsevol seminorma, la bola unitària és un entorn simètric convexo tancat de l'orige i, a l'inversa, qualsevol entorn simètric convexo tancat de 0 és la bola unitària d'alguna seminorma (per a espais vectorials complexos, la condició "simètric" deu reemplaçar-se per "equilibrat").

Si $p$ és una seminorma en $X,$ llavors $X_p$ denota l'espai de Banach donat per completación i l'espai normado auxiliar usant la seminorma $p.$ Existix una aplicació natural $X\to X_p$ (no necessàriament inyectiva).

Si $q$ és una atra seminorma, major que $p$ (puntualment com una funció en $X$), llavors existix una aplicació natural de $X_q$ a $X_p$ tal que la primera aplicació factoriza $X\to X_q\to X_p.$ Estes aplicacions són sempre contínues. L'espai $X$ és nuclear quan es complix una condició més forta, a saber, que estes aplicacions són operadors nuclears. La condició de ser un operador nuclear és sotil, i en l'artícul corresponent hi ha més detalls disponibles.

Definició 1: un espai nuclear és un espai vectorial topològic localment convexo tal que per a qualsevol seminorma $p$ es pot trobar una seminorma més gran $q$ de modo que l'aplicació natural $X_q\to X_p$ siga nuclear.

Informalment, açò significa que sempre que es considera la bola unitària d'alguna seminorma, es pot trobar una bola unitària "molt més menuda" d'una atra seminorma dins d'ella, o que qualsevol entorn de 0 conté un entorn "molt més menut". No és necessari verificar esta condició per a totes les seminormas $p$, i n'hi ha prou en comprovar si hi ha un conjunt de seminormas que generen la topología, és dir, un conjunt de seminormas que són una subbase per a la topología.

En lloc d'utilisar espais de Banach i operadors nuclears arbitraris, es pot donar una definició en térmens d'espais de Hilbert i d'operadors de classe de traça, que són més fàcils d'entendre (en els espais de Hilbert, els operadors nuclears a sovint es denominen operadors de classe de traça).

Es diu que una seminorma $p$ és una seminorma de Hilbert si $X_p$ és un espai de Hilbert, o de manera equivalent, si $p$ prové d'una forma semidefinida positiva sesquilineal en $X.$

Definició 2: un espai nuclear és un espai vectorial topològic en una topología definida per una família de seminormas de Hilbert, de modo que per a qualsevol seminorma de Hilbert $p$ es pot trobar una seminorma de Hilbert $q$ més gran, per lo que l'aplicació natural de $X_q$ a $X_p$ és un operador de classe de traça.

Alguns autors preferixen utilisar l'operador de Hilbert–Schmidt en lloc d'operadors de classe de traça. La diferència és menuda, perque qualsevol operador de classe de traça és de Hilbert-Schmidt, i el producte de dos operadors de Hilbert-Schmidt és de classe de traça.

Definició 3: un espai nuclear és un espai vectorial topològic en una topología definida per una família de seminormas de Hilbert, de modo que per a qualsevol seminorma de Hilbert $p$ es pot trobar una seminorma de Hilbert $q$ més gran, per lo que l'aplicació natural de $X_q$ a $X_p$ és de Hilbert-Schmidt.

Si s'opta per utilisar el concepte d'operador nuclear des d'un espai vectorial topològic localment convexo arbitrari a un espai de Banach, es poden donar definicions més breus com les següents:

Definició 4: un espai nuclear és un espai vectorial topològic localment convexo tal que per a qualsevol seminorma $p$ l'aplicació natural de $X\to X_p$ és un nuclear.

Definició 5: un espai nuclear és un espai vectorial topològic localment convexo tal que qualsevol aplicació llineal contínua a un espai de Banach és nuclear.

Grothendieck va utilisar una definició similar a la següent:

Definició 6: un espai nuclear és un espai vectorial topològic localment convexo $A$ tal que per a qualsevol espai vectorial topològic localment convexo $B$ l'aplicació natural del producte tensorial proyectivo al inyectivo de $A$ i $B$ és un isomorfisme.

De fet, és suficient comprovar açò solament per als espais de Banach $B,$ o inclús solament per a l'únic espai de Banach ${\ell }^1$ de séries absolutament convergents.

Vore també

• Espai normado auxiliar
• Núcleu de Fredholm
• Producte tensorial inyectivo
• Espai localment convexo
• Operador nuclear
• Producte tensorial proyectivo
• Espai de Hilbert equipat
• Operador de classe de traça
• Espai vectorial topològic

Bibliografia

• Becnel, Jeremy (2021). Tools for Infinite Dimensional Analysis, CRC Press. OCLC 1195816154. ISBN 978-0-367-54366-2.
• Grothendieck, Alexandre (1955). “Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires”. Memoirs of the American Mathematical Society 16.
• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited, Providence, R.I: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 978-0-8218-4440-3.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126156. ISBN 3-540-09504-7.
• Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en fr), Providence: American Mathematical Society. OCLC 1315788. ISBN 0-8218-1216-5.
• Holden, Helge (2009). Stochastic Partial Differential Equations, Springer Science & Business Mija. ISBN 978-0-387-89488-1.
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 4493665. ISBN 3-540-09096-7.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. OCLC 2798822. ISBN 0-7204-0712-5.

• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality, Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. OCLC 7553061. ISBN 0-444-86207-2.
• (1964) Generalized Functions – vol. 4: Applications of harmonic analysis, New York: Academic Press. OCLC 310816279.
• Takeyuki Hida i Si Si, Conferències sobre les funcions del soroll blanc, World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0
• Plantilla:Springer
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• (1972) Nuclear locally convex spaces (vol. 66), Berlin, New York: Springer Science+Business Mija. ISBN 978-0-387-05644-9.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces, Berlin,New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 0-387-05644-0.
• Robertson, A.P. (1964). Topological vector spaces (vol. 53), Cambridge University Press, p. 141.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces, Cambridge England: University Press. OCLC 589250. ISBN 0-521-29882-2.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, London New York: Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.* Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.