Espai de Fréchet

En anàlisis funcional i àrees relacionades de matemàtiques, els espais Fréchet, que duen el nom de Maurice Fréchet, són espais vectorials topològics especials. Són generalisacions d'espais de Banach (espai vectorial normado que és complet sobre la mètrica induïda per la norma). Tots els espais de Banach i d'Hilbert són espais de Fréchet.

Els espais de funcions infinitament diferenciables són eixemples típics d'espais de Fréchet, molts dels quals són típicament espais que no són de Banach.

Un espai de Fréchet $X$ es definix com un espai vectorial topològic (EVT) localment convexo i metrisable que és complet com EVT, lo que significa que cada successió de Cauchy en $X$ convergix en algun punt en $X$ (consulte's la nota al peu per a obtindre més detalls).

Nota important: No tots els autors requerixen que un espai de Fréchet siga localment convexo (discutit més avall).

La topología de tot espai de Fréchet és induïda per algun simetria traslacional mètric complet. Pel contrari, si la topología d'un espai localment convexo $X$ és induïda per una mètrica completa invariante en la translació, llavors $X$ és un espai de Fréchet.

Fréchet va ser el primer en usar el terme "espai de Banach" i Banach, a la seua volta, va falcar el terme "espai de Fréchet" per a referir-se a espais vectorials topològics metrisables complets, sense el requisit de convexidad local (dit espai hui en dia a sovint es diu F-espai).

La condició de localment convexo va ser afegida posteriorment per Nicolas Bourbaki. És important tindre en conte que un número considerable d'autors (per eixemple, Schaefer) usen el terme F-espai per a referir-se a un espai de Fréchet (localment convexo), mentres que uns atres no requerixen que un espai de Fréchet siga localment convexo. Ademés, alguns autors inclús usen "F-espai" i "espai de Fréchet" indistintament.

En consultar lliteratura matemàtica, es recomana que el llector verifique sempre si la definició del llibre o artícul de "F-espai" i de "espai de Fréchet" requerix o no convexidad local.

Definicions

Els espais de Fréchet es poden definir de dos formes equivalents: el primer ampra una mètrica d'invariante a la translació, i el segon una família de seminormas numerable.

Definició mètrica invariante

Un espai vectorial topològic $X$ és un espai de Fréchet si i solament si satisfà les següents tres propietats:

1. És un espai localment convexo.

1. La seua topología pot ser induïda per una mètrica invariante a la translació, és dir, una mètrica $d:X\times X\to ℝ$ tal que $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ para tot $x,y,z\in X.$ Açò significa que un subconjunt $U$ de $X$ és obert si i solament si per a cada $u\in U$ existix un $r>0$ tal que $\{v:d(v,u)<r\}$ és un subconjunt de $U.$
2. Algunes (o de manera equivalent, totes) les mètriques invariantes a la translació en $X$ que induïxen la topología de $X$ són completes.

• Suponent que es complixquen les atres dos condicions, esta condició és equivalent a que $X$ siga un espai vectorial topològic complet, lo que significa que $X$ és un espai uniforme complet quan està dotat del seu uniformitat canònica (esta uniformitat canònica és independent de qualsevol mètrica en $X$ i es definix completament en térmens de substracció de vectores i entorns de l'orige de $X$; ademés, l'uniformitat induïda per qualsevol mètrica invariante a la translació (que definix la topología) en $X$ és idèntica a esta uniformitat canònica).

Deu tindre's en conte que no existix una noció natural de distància entre dos punts d'un espai de Fréchet: moltes mètriques invariantes a la translació diferents poden induir la mateixa topología.

Definició de família contable de seminormas

La definició alternativa i alguna cosa més pràctica és la següent: un espai vectorial topològic $X$ és un espai de Fréchet si i solament si satisfà les següents tres propietats:

1. És un espai de Hausdorff
2. La seua topología pot ser induïda per una família contable de seminormas $||\cdot |{|}_k$ $k=0,1,2,\dots$. Açò significa que un subconjunt $U\subseteq X$ és obert si i solament si per a cada $u\in U$ existix $K\ge 0$ i $r>0$ tal que $\{v\in X:\Vert v-u{\Vert }_k<r\text{ para todo }k\ge K\}$ és un subconjunt de $U,$
3. És complet sobre la família de seminormas.

• Suponent que es complixquen les atres dos condicions, esta condició és equivalent a que $X$ siga un espai vectorial topològic complet, lo que significa que $X$ és un espai uniforme complet quan està dotat del seu uniformitat canònica (esta uniformitat canònica és independent de qualsevol mètrica en $X$ i es definix completament en térmens de la resta de vectores i els entorns de l'orige de $X$; ademés, l'uniformitat induïda per qualsevol mètrica invariante a la translació (que definix la topología) en $X$ és idèntica a esta uniformitat canònica).

Deu tindre's en conte que no existix una noció natural de distància entre dos punts d'un espai de Fréchet: moltes mètriques invariantes a la translació diferents poden induir la mateixa topología.

Comparació en els espais de Banach

A diferència dels espais de Banach, la mètrica completa invariante a la translació no necessita sorgir d'una norma. No obstant, la topología d'un espai de Fréchet sorgix tant d'una paranorma total com d'una F-norma (la "F" significa de Fréchet).

Encara que l'espai topològic dels espais de Fréchet és més complicat que el dels espais de Banach per la possible falta d'una norma, encara es mantenen molts resultats importants en l'anàlisis funcional, com el teorema de la funció oberta, el teorema de la gràfica tancada i el teorema de Banach-Steinhaus.

Construcció d'espais de Fréchet

Recorde que una seminorma $\Vert \cdot \Vert$ és una funció d'un espai vectorial $X$ als número real que satisfan tres propietats. Per a tots els $x,y\in X$ i tots els escalares $c,$ $$\Vert x\Vert \ge 0$$ $$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$ $$\Vert c\cdot x\Vert =|c|\Vert x\Vert$$

Si $\Vert x\Vert =0⟺x=0$, llavors $\Vert \cdot \Vert$ és de fet una norma. No obstant, les seminormas són útils perque nos permeten construir espais de Fréchet, com seguix:

Per a construir un espai de Fréchet, normalment es comença en un espai vectorial $X$ i es definix una família contable de seminormas $\Vert \cdot {\Vert }_k$ en $X$ en les següents dos propietats:

• si $x\in X$ i $\Vert x{\Vert }_k=0$ per a tots els $k\ge 0,$ llavors $x=0$;
• si $x_{\bullet }={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ és una seqüència en $X$ que és Cauchy sobre cada seminorma $\Vert \cdot {\Vert }_k,$ llavors existix $x\in X$ tal que $x_{\bullet }={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ convergix a $x$ sobre cada seminorma $\Vert \cdot {\Vert }_k.$

Després, la topología induïda per estes seminormas (com es va explicar anteriorment) convertix a $X$ en un espai de Fréchet; la primera propietat assegura que és Hausdorff i la segona propietat assegura que està completa. Una mètrica completa invariante en la traducció que induïx la mateixa topología en $X$ es pot definir per mig de $$d(x,y)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\frac{\Vert x-y{\Vert }_k}{1+\Vert x-y{\Vert }_k}x,y\in X.$$.

La funció $u\mapsto \frac{u}{1+u}$ assigna $[0,\mathrm{\infty })$ monòtonament a $[0,1),$ i, per lo tant, la definició anterior garantisa que $d(x,y)$ és "menut" si i solament si existix $K$ "gran", de modo que $\Vert x-y{\Vert }_k$ és "menut" per a $k=0,\dots ,K.$.

Bibliografia

• Plantilla:Springer
• Berberian, Sterling K. (1974). Lectures in Functional Analysis and Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag]. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370
• Köthe, Gottfried (1983) [1969. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Mija]. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Séries in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
• Trèves, François (2006) [1967. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). Loop groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853535-X. MR 0900587.
• Sergeev, Armen (2010). Kähler Geometry of Loop Spaces. Mathematical Society of Japan Memoirs. Vol. 23. World Scientific Publishing. doi:10.1142/i023. ISBN 978-4-931469-60-0.