Operador de classe de traça

En matemàtiques, un operador de classe traça o un operador de traça finita és un operador compacte para el qual la traça està definida (en eixe cas la traça és un número finito i no depén de la base elegida).

La classe d'operadors de traça finita coincidix essencialment en la dels operadors nuclears, encara que molts autors reserven el terme "operador de classe traça" per al cas particular d'operadors nucleasres definits en un espai de Hilbert i usen el nom d'operador nuclear per al cas més general d'un espai de Banach.

Definició

Parafraseando la definició de la traça per a matrius, un operador llineal acotat A definit sobre un espai de Hilbert separable H es diu de classe traça o de traça finita si per a alguna base ortonormal {i_k}_k de H la suma de térmens positius:

és finita. En eixe cas la suma:

és absolutament convergent i és independent de l'elecció de la base ortonormal. Este valor es denomina traça de A. Quan H és de dimensió finita, llavors, qualsevol operador definit sobre ell és acotat i és de traça finita (resultant en eixe cas la traça coincidente en la traça d'una matriu que represente a l'operador en una base donada).

Per extensió, si A és un operador autoadjunto i no negatiu, es pot definir la traça de A com el número real estés dau per la suma, possiblement divergent:

Propietats

1.	Si A és un operador autoadjunto no negatiu, A és de classe traça si i solament si tr(A) < ∞. Per tant un operador autoadjunto A és de classe traça si i solament si la seua part positiva A+ i la seua part negativa A− són abdós de classe traça. (Les parts positiva i negativa d'un operador autoadjunto s'obtenen per mig de càlcul funcional.)
2.	La traz és un funcional llineal sobre l'espai dels operadors de classe traça, és dir, $\mathrm{tr}(aA+bB)=a\mathrm{tr}(A)+b\mathrm{tr}(B).$ l'aplicació bilineal: $⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(A^{*}B)$ és un producte escalar sobre la classe traça; la norma associada es diu norma de Hilbert-Schmidt. La compleción dels operadoes de classe traça en la norma de Hilbert-Schmidt està formada pels operadors de Hilbert-Schmidt.
3.	Si $A$ és acotat i $B$ és de classe traça, $AB$ i $BA$ són de classe traça i $\Vert AB{\Vert }_1=\mathrm{tr}(|AB|)\le \Vert A\Vert \Vert B{\Vert }_1,\Vert BA{\Vert }_1=\mathrm{tr}(|BA|)\le \Vert A\Vert \Vert B{\Vert }_1$ ademés, baixe els mateixos supòsits, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$
4.	Si $A$ és de classe traça, llavors es pot definir el determinant de $1+A$ per mig de: per a $\{{\lambda }_n(A){\}}_n$ els elements del espectre de $A$; la condició de classe traça sobre $A$ garantisa que el producte infinit és igual a un número finito, de fet: això també garantisa que $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(I+A)\ne 0$ si i només si $(I+A)$ admet inversa

Teorema de Lidskii

Siga $A$ un operador de classe traça definit en espai de Hilbert separable $H$ i siga $\{{\lambda }_n(A){\}}_{n=1}^N,$ $N\le \mathrm{\infty }$ el conjunt d'autovalorés de $A$. Assumixca's que ${\lambda }_n(A)$ s'enumeren contabilisant multiplicitat algebraiques, llavors la teorema de Lidskii (cridat aixina per Victor Borisovich Lidskii) afirma que:

Note's que la série a l'esquerra és absolutament convergent per la desigualtat de Weyl:

entre els autovalores

i el valor singular:

d'un operador compacte $A$. Vore per eixemple Simon (2005).

Relació entre algunes classes d'operadors

Un pot obtindre certes classes d'operadors acotats com l'anàlec no conmutativo d'un espai de successions clàssic. En este cas els operadors de classe traça són l'anàlec no conmutativo dels espais ${\ell }^1(ℝ)$. De fet, aplicant el teorema espectral, tot operador normal de classe traça sobre un espai de Hilbert separable es pot realisar com una successió en ${\ell }^1$. De la mateixa manera:

• Els operadors acotats són l'anàlec no conmuativo de ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$.
• Els operadors compactes són l'anàlec no comutativo de $c_0(ℝ)$ (successions que convergixen a zero).
• Els operadors de Hilbert-Schmidt es corresponen en ${\ell }^2(ℝ)$.
• Els operadorde de ranc finito es corresponen en ${\ell }_0(ℝ)$.

Fins a cert punt les relacions entre les diferents classes d'operadors són similars a les relacions existents entre les seues contrapartes conmutativas.

Tinga's en conte que tot operador compacte T definit en un espai de Hilbert pot escriure's com:

per a dos bases ortonormals {o_i} i {v_i}, formalisant lo anterior de manera més precisa:

• T és de classe de traça si la série sumada $\sum _i{\alpha }_i$ és convergent.
• T és del tipo Hilbert-Schmidt si $\sum _i{\alpha }_i^2$ és convergent.
• T és de ranc finito si $\sum _i{\alpha }_i^2$ només té un número finito de sumants diferents de zero.

La caracterisació anterior permet establir fàcilment alguns fets que relacionen eixes classes d'operadors. Per eixemple, es té la següent cadena d'inclusions (si l'espai de Hilbert és de dimensió infinita són inclusions pròpies): {ranc finito} ⊂ {classe de traça} ⊂ {tipo Hilbert-Schmidt} ⊂ {compacte}.

Els operadors de classe de traça formen un espai vectorial normado en la norma:

Els operadors de Hilbert-Schmidt admeten la norma vectorial:

Els operadors acotats admeten també la norma:

Estes tres normes satisfan la següent cadena de desigualtats:

Per a un operador de classe de traça.

Un atre fet interessant és que els operadors de ranc finito constituïxen un subconjunt dens tant en el conjunt d'operadors de Hilbert-Schmidt com en el conjunt dels operadors de classe traça (en topología definida per les normes anteriors).

La classe de traça com a dual topològic

l'espai dual topològic de l'espai vectorial de successions d'número real convergents $c_0(ℝ)$ és l'espai de successions tals que la série associada és absolutament convergent ${\ell }^1(ℝ)$. De manera similar l'espai dual dels operadors compactes $K(\mathscr{H}{)}^{*}$ sobre un espai de Hibert $\mathscr{H}$ coincidix en l'espai vectorial dels operadors de classe traça. L'argument, que esbossem a continuació és reminiscente del corresponent argument d'espais vectorials de successions. Siga $f\in K(\mathscr{H}{)}^{*}$ i s'associa a f en l'operador T_f definit per:

a on S_x,i és l'operador de ranc 1 dau per:

$S_{x,y}(h)=⟨h,y⟩x.$

Esta identificació funciona perque els operadors de ranc finito formen un conjunt dens en $K(\mathscr{H})$. En el cas de que T_f siga un operador positiu, es té per a qualsevol base ortonormal o_i, one has

a on I és l'operador identitat:

$I=\sum _i⟨\cdot ,u_i⟩u_i.$

Encara que açò implica que T_f és de classe de traça. Ademés pot provar-se per mig d'un argument basat en operadors de ranc finito que $\Vert T_f{\Vert }_1=\Vert f\Vert$ i, per tant, que $K(\mathscr{H}{)}^{*}$ és isomètric a C₁.

Referències

Bibliografia

• Dixmier, J. (1969). Els Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.