Operador nuclear

En matemàtiques, els operadors nuclears són una classe important d'operadors llineals introduïts per Alexander Grothendieck en la seua tesis doctoral. Estan íntimament lligats al producte tensorial proyectivo de dos espais vectorials topològics (EVT).

Preliminars i notació

Sean X,I i Z tres espais vectorials topològics (EVT) i L : X → I siga un operador llineal (sense suposició de continuïtat a menos que s'indique lo contrari).

• El producte tensorial proyectivo de dos EVT localment convexos X i I s'indica en $X{\otimes }_{\pi }Y$ i la completación d'este espai s'indicarà en $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$.
• L : X → I és un homomorfisme topològic o un homomorfisme, si és llineal, continu, i $L:X\to \mathrm{Im}L$ és una aplicació oberta, a on $\mathrm{Im}L$, l'image de L, té la topología subespacial induïda per I.
  • Si S és un subespacio de X, llavors tant l'aplicació cocient X → X/S com l'injecció canònica S → X són homomorfismes.
• El conjunt d'aplicacions llineals contínues X → Z (respectivament, aplicacions bilineales contínues $X\times Y\to Z$) es denotarà per L(X, Z) (respectivament, B(X, I; Z)) a on si Z és el cos escalar subjacent, llavors es pot escriure L(X) (respectivament, B(X, I)).
• Qualsevol aplicació llineal $L:X\to Y$ es pot descompondre canónicamente de la següent manera: $X\to X/\ker L\stackrel{L_0}{\to }\mathrm{Im}L\to Y$ a on $L_0(x+\ker L):=L(x)$ definix una biyección cridada biyección canònica associada en L.
• X* o $X^{\prime }$ denotaran l'espai dual continu de X.
  • Per a aumentar la claritat de l'exposició, s'utilisa la convenció comuna d'escriure elements de $X^{\prime }$ en un número primo despuix del símbol (per eixemple, $x^{\prime }$ denota un element de $X^{\prime }$ i no una derivada, i les variables x i $x^{\prime }$ no necessita estar relacionat de cap manera).
• $X^{\mathrm{\#}}$ denotarà l'espai dual de X (que és l'espai vectorial de tots els funcionals llineals en X, siguen continus o no).
• Una aplicació llineal L : H → H des d'un espai de Hilbert cap a sí mateixa es diu positiva si $⟨L(x),x⟩\ge 0$ per a cada $x\in H$. En este cas, existix una única aplicació positiva r: H → H, cridada raïl quadrada de L, tal que $L=r\circ r$.
  • Si $L:H_1\to H_2$ és qualsevol aplicació llineal contínua entre espais de Hilbert, llavors $L^{*}\circ L$ és sempre positiu. Ara, denote's en R : H → H la seua raïl quadrada positiva, que es denomina valor absolut de L. Definixca $U:H_1\to H_2$ primer en $\mathrm{Im}R$ configurant $U(x)=L(x)$ per a $x=R\left(x_1\right)\in \mathrm{Im}R$ i estenent $U$ contínuament a $\overline{\mathrm{Im}R}$, i després definixca's O en $\ker R$ configurant $U(x)=0$ per a $x\in \ker R$ i estenga's esta aplicació linealmente a tot $H_1$. L'aplicació $U{|}_{\mathrm{Im}R}:\mathrm{Im}R\to \mathrm{Im}L$ és una isometría sobreyectiva i $L=U\circ R$.
• Un aplicació llineal $\Lambda :X\to Y$ es diu compacta o completament contínua si existix un entorn O de l'orige en X tal que $\Lambda (U)$ és precompacto en I.

• • En un espai de Hilbert, els operadors llineals compactes positius, pose's per cas L : H → H, tenen una descomposició espectral simple descoberta a principis de el XX per Fredholm i F. Riesz:

    Existix una successió de números positius, decreixents i finitos o convergents a 0, $r_1>r_2>\cdots >r_k>\cdots$ i una successió de subespacios de dimensió finita distinta de zero $V_i$ de H (i= 1, 2, $\dots$) en les següents propietats: (1) els subespacios $V_i$ són ortogonals per parells; (2) per a cada i i cada $x\in V_i$, $L(x)=r_{i}x$; i (3) l'element ortogonal del subespacio comprés per $\bigcup _i{V}_i$ és igual al núcleu de L.

Notació per a topología

Artícul principal → Topología en espais d'aplicacions llineals.

• σ(X, X′) denota la topología més grossa en X, lo que fa que cada aplicació en X′ siga contínua i $X_{\sigma (X,X^{\prime })}$ o $X_{\sigma }$ denota X dotat d'esta topología.
• σ(X′, X) denota la topología dèbil en X* i $X_{\sigma (X^{\prime },X)}$ o $X{\text{'}}_{\sigma }$ denota X′ dotat en esta topología.
  • Tinga's en conte que cada $x_0\in X$ induïx un aplicació $X^{\prime }\to ℝ$ definida per $\lambda \mapsto \lambda \left(x_0\right)$. σ(X′, X) és la topología més grossa en X′, lo que fa que totes estes aplicacions siguen contínues.
• b(X, X′) denota la topología de convergència llimitada en X i $X_{b(X,X^{\prime })}$ o $X_b$ denota X dotat en esta topología.
• b(X′, X) denota la topología de convergència llimitada en X' o la topología dual forta en X' i $X_{b(X^{\prime },X)}$ o $X{\text{'}}_b$ denota X′ dotat en esta topología.
  • Com és habitual, si X* es considera un espai vectorial topològic pero no s'ha deixat clar en quina topología està dotat, llavors s'assumirà que la topología és b(X′, X).

Producte tensorial canònic com subespacio del dual de Bi(X, I)

Sean X i I espais vectorials (encara no es necessita topología) i siga Bi(X, I) l'espai de tots els operadors bilineales definits en $X\times Y$ i sobre el cos escalar subjacent.

Per a cada $(x,y)\in X\times Y$, siga ${\chi }_{(x,y)}$ la forma llineal canònica en Bi(X, I) definida per ${\chi }_{(x,y)}(u):=u(x,y)$ per a cada o ∈ Bi(X, I ). Açò induïx un aplicació canònic $\chi :X\times Y\to \mathrm{B}\mathrm{i}(X,Y{)}^{\mathrm{\#}}$ definida per $\chi (x,y):={\chi }_{(x,y)}$, a on $\mathrm{B}\mathrm{i}(X,Y{)}^{\mathrm{\#}}$ denota l'espai dual de Bi(X, I). Si es denota l'interval del ranc de 𝜒 per X ⊗ I, llavors es pot demostrar que X ⊗ I junt en 𝜒 forma un producte tensorial de X i I (a on x ⊗ i := 𝜒(x, i)), que és un producte tensorial canònic de X i I.

Si Z és qualsevol atre espai vectorial, llavors l'aplicació Li(X ⊗ I; Z) → Bi(X, I; Z) donada per o ↦ o ∘ 𝜒 és un isomorfisme d'espais vectorials. En particular, açò permet identificar l'espai dual de X ⊗ I en l'espai de formes bilineales en X × I. Ademés, si X i I són espais vectorials topològics localment convexos (EVT) i si a X ⊗ I se li dona la topología 𝜋, llavors per a cada EVT localment convexo Z, este aplicació es restringix a un isomorfisme d'espais vectorials $L(X{\otimes }_{\pi }Y;Z)\to B(X,Y;Z)$ des de l'espai d'aplicacions llineals "contínues" a l'espai d'aplicacions bilineales "contínues".

En particular, el dual continu de X ⊗ I pot identificar-se canónicamente en l'espai B(X, I) de formes bilineales contínues en X × I. Ademés, baix esta identificació, els subconjunts equicontinuos de B(X, I) són els mateixos que els subconjunts equicontinuos de $(X{\otimes }_{\pi }Y{)}^{\prime }$.

Operadors nuclears entre espais de Banach

Artícul principal → Operadors nuclears entre espais de Banach.

Existix un espai vectorial canònic que incorpora $I:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)$ definit fent correspondre $z:={\sum }_i^n{x_i}^{\prime }\otimes y_i$ a l'aplicació

$x\mapsto \sum _i^n{x_i}^{\prime }(x)y_i.$

Suponent que X i I són espais de Banach, llavors l'aplicació $I:X{\text{'}}_b{\otimes }_{\pi }Y\to L_b(X;Y)$ té la norma $1$ (per a vore que la norma és $\le 1$, observe's que $\Vert I(z)\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert I(z)(x)\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert {\sum }_{i=1}^n{x_i}^{\prime }(x)y_i\Vert \le \underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }{\sum }_{i=1}^n\Vert {x_i}^{\prime }\Vert \Vert x\Vert \Vert y_i\Vert \le {\sum }_{i=1}^n\Vert {x_i}^{\prime }\Vert \Vert y_i\Vert$ és $\Vert I(z)\Vert \le {\Vert z\Vert }_{\pi }$). Per tant, té una extensió contínua a una aplicació $\hat{I}:X{\text{'}}_b{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\to L_b(X;Y)$, a on se sap que esta aplicació no és necessàriament inyectiva. El ranc d'este aplicació es denota per $L^1(X;Y)$ i els seus elements es denominen operadors nuclears. $L^1(X;Y)$ és un EVT-isomorfo a $\left(X{\text{'}}_b{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker \hat{I}$ i la norma en este espai cocient, quan es transferix a elements de $L^1(X;Y)$ a través dla aplicació induïda $\hat{I}:\left(X{\text{'}}_b{\hat{\otimes }}_{\pi }Y\right)/\ker \hat{I}\to L^1(X;Y)$, es denomina norma de la traça i es denota per $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{Tr}}$. Explícitament, si $T:X\to Y$ és un operador nuclear, llavors ${\Vert T\Vert }_{\mathrm{Tr}}:=\underset{z\in {\hat{I}}^{-1}\left(T\right)}{\inf }{\Vert z\Vert }_{\pi }$.

Caracterisació

Suponga's que X i I són espais de Banach i que $N:X\to Y$ és un operador llineal continu.

• Els següents enunciats són equivalents:
  1. $N:X\to Y$ és nuclear.
  2. Existix una seqüència ${\left({x_i}^{\prime }\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ en la bola unitària tancada de $X^{\prime }$, una successió ${\left(y_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ en la bola unitària tancada de $Y$ i una successió complexa ${\left(c_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}|c_i|<\mathrm{\infty }$ i $N$ són iguals a l'aplicació: $N(x)={\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{i}x{\text{'}}_i(x)y_i$ para tot $x\in X$. Ademés, la norma de la traça $\Vert N{\Vert }_{\mathrm{Tr}}$ és igual al mínim dels números ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}|c_i|$ sobre el conjunt de totes les representacions de $N$ com a tal série.
• Si I és reflexiu, llavors $N:X\to Y$ és nuclear si i solament si ${}^{t}N:Y{\text{'}}_b\to X{\text{'}}_b$ és nuclear, en el cas del qual ${\Vert {}^{t}N\Vert }_{\mathrm{Tr}}={\Vert N\Vert }_{\mathrm{Tr}}$.

Propietats

Siguen X i I espais de Banach i siga $N:X\to Y$ un operador llineal continu.

• Si $N:X\to Y$ és una aplicació nuclear, llavors la seua transposició ${}^{t}N:Y{\text{'}}_b\to X{\text{'}}_b$ és un aplicació nuclear contínua (quan els espais duals tenen les seues topología duals fortes) i ${\Vert {}^{t}N\Vert }_{\mathrm{Tr}}\le {\Vert N\Vert }_{\mathrm{Tr}}$.

Bibliografia

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited, Providence, R.I: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 978-0-8218-4440-3.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126156. ISBN 3-540-09504-7.
• Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en fr), Providence: American Mathematical Society. OCLC 1315788. ISBN 0-8218-1216-5.
• Husain, Taqdir (1978). Barrelledness in topological and ordered vector spaces, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 4493665. ISBN 3-540-09096-7.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.

• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Nlend, H (1977). Bornologies and functional analysis : introductory course on the theory of duality topology-bornology and its use in functional analysis, Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier-North Holland. OCLC 2798822. ISBN 0-7204-0712-5.
• Nlend, H (1981). Nuclear and conuclear spaces : introductory courses on nuclear and conuclear spaces in the light of the duality, Amsterdam New York New York, N.Y: North-Holland Pub. Co. Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier North-Holland. OCLC 7553061. ISBN 0-444-86207-2.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces, Berlin,New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 0-387-05644-0.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces, Cambridge England: University Press. OCLC 589250. ISBN 0-521-29882-2.
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, London New York: Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.