Producte tensorial proyectivo

En anàlisis funcional, un àrea de les matemàtiques, el producte tensorial proyectivo de dos espais localment convexos és una estructura d'espai vectorial topològic natural en el seu producte tensorial. És dir, donats els espais vectorials topològics localment convexos $X$ i $Y$, la topología proyectiva, o topología p, en $X\otimes Y$ és la topología més forta que fa de $X\otimes Y$ un espai vectorial topològic localment convexo tal que l'aplicació canònica $(x,y)\mapsto x\otimes y$ (de $X\times Y$ a $X\otimes Y$) és contínua. Quan està equipat en esta topología, $X\otimes Y$ es denota com $X{\otimes }_{\pi }Y$ i es denomina producte tensorial proyectivo de $X$ i $Y$.

Definicions

Sean $X$ i $Y$ espais vectorials topològics localment convexos. El seu producte tensor proyectivo $X{\otimes }_{\pi }Y$ és l'únic espai vectorial topològic localment convexo en l'espai vectorial subjacent $X\otimes Y$ que té la següent propietat universal:

Per a qualsevol espai vectorial topològic localment convexo $Z$, si ${\Phi }_Z$ és l'aplicació canònica des de l'espai vectorial d'aplicacions bilineales $X\times Y\to Z$ a l'espai vectorial d'aplicacions llineals $X\otimes Y\to Z$; llavors l'image de la restricció de ${\Phi }_Z$ a les aplicacions bilineales contínues és l'espai de les aplicacions llineals contínues $X{\otimes }_{\pi }Y\to Z$.

Quan les topología de $X$ i $Y$ són induïdes per una seminorma, la topología de $X{\otimes }_{\pi }Y$ és induïda per seminormas construïdes a partir d'aquelles en $X$ i $Y$ de la següent manera. Si $p$ és una seminorma en $X$ i $q$ és una seminorma en $Y$, es definix el seu producte tensorial $p\otimes q$ com la seminorma en $X\otimes Y$ donada per

$(p\otimes q)(b)=\underset{r>0,b\in rW}{\inf }r$

per a tot $b$ en $X\otimes Y$, a on $W$ és la envolvente convexa equilibrada del conjunt $\{x\otimes y:p(x)\le 1,q(y)\le 1\}$. La topología proyectiva en $X\otimes Y$ es genera per mig de la colecció de dits productes tensoriales de les seminormas en $X$ i $Y$. Quan $X$ i $Y$ són espais normados, esta definició aplicada a les normes en $X$ i $Y$ dona una norma, cridada norma proyectiva, en $X\otimes Y$ que genera la topología proyectiva.

Propietats

Sempre se supon que tots els espais són localment convexos. El símbol $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ denota la completación del producte tensorial proyectivo de $X$ i $Y$.

• Si $X$ i $Y$ són abdós espais de Hausdorff, llavors també ho és $X{\otimes }_{\pi }Y$; si $X$ i $Y$ són espais de Fréchet, llavors $X{\otimes }_{\pi }Y$ és barrilado.
• Per a dos operadors llineals continus qualssevol $u_1:X_1\to Y_1$ i $u_2:X_2\to Y_2$, el seu producte tensorial (com a aplicacions llineals) $u_1\otimes u_2:X_1{\otimes }_{\pi }{X}_2\to Y_1{\otimes }_{\pi }{Y}_2$ és continu.
• En general, el producte tensorial proyectivo no respecta subespacios (per eixemple, si $Z$ és un subespacio vectorial de $X$, llavors el EVT $Z{\otimes }_{\pi }Y$ té en general una topología més grossa que la topología del subespacio heretada de $X{\otimes }_{\pi }Y$).

• Si $E$ i $F$ són subespacios complementats de $X$ i $Y,$ respectivament, llavors $E\otimes F$ és un subespacio vectorial complementat de $X{\otimes }_{\pi }Y$ i la norma proyectiva en $E{\otimes }_{\pi }F$ és equivalent a la norma proyectiva en $X{\otimes }_{\pi }Y$ restringida al subespacio $E\otimes F$. Ademés, si $X$ i $F$ es complementen en proyeccions de la norma 1, llavors $E\otimes F$ es complementa en una proyecció de la norma 1.
• Siguen $E$ i $F$ subespacios vectorials dels espais de Banach $X$ i $Y$, respectivament. Llavors $E\hat{\otimes }F$ és un subespacio de el EVT $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ si i solament si cada forma bilineal acotada en $E\times F$ s'estén a una forma bilineal contínua en $X\times Y$ en la mateixa norma.

Vore també

• Producte tensorial inductivo
• Producte tensorial inyectivo
• Producte tensorial d'espais de Hilbert
• Producte tensorial topològic

Bibliografia

• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, London New York: Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.