Producte tensorial d'espais de Hilbert

En matemàtiques, i en particular en anàlisis funcional, el producte tensorial d'espais de Hilbert és una forma d'estendre la construcció d'un producte tensorial, de modo que el resultat de prendre un producte tensorial de dos espais de Hilbert siga un atre espai de Hilbert. En térmens generals, el producte tensorial és la completación del espai mètric del producte tensorial ordinari, i és un eixemple de producte tensorial topològic. El producte tensorial permet recopilar espais de Hilbert en una categoria monoidal simètrica.

Definició

Ya que els espais de Hilbert tenen productes interns, es desija introduir un producte intern i, per lo tant, una topología, en el producte tensorial que sorgix naturalment dels productes interns dels factors. Sean $H_1$ i $H_2$ dos espais de Hilbert en productes interns $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_1$ i $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_2,$ respectivament. Construïxca's el producte tensorial de $H_1$ i $H_2$ com espais vectorials com s'explica en l'artícul sobre el producte tensorial. Es pot convertir este producte tensorial de l'espai vectorial en un espai prehilbertiano definint

$⟨{\varphi }_1\otimes {\varphi }_2,{\psi }_1\otimes {\psi }_2⟩={⟨{\varphi }_1,{\psi }_1⟩}_1{⟨{\varphi }_2,{\psi }_2⟩}_2\text{ para todo }{\varphi }_1,{\psi }_1\in H_1\text{ y }{\varphi }_2,{\psi }_2\in H_2$

i estenent-se per linealidad. Que este producte intern siga el natural es justifica per l'identificació d'aplicacions bilineales en valors escalares en $H_1\times H_2$ i funcionals llineals en el seu producte tensorial en l'espai vectorial. Finalment, prenga's la completación baixe este producte intern. L'espai de Hilbert resultant és el producte tensorial de $H_1$ i $H_2.$

Construcció explícita

El producte tensorial també es pot definir sense recórrer a la completación de l'espai mètric. Si $H_1$ i $H_2$ són dos espais de Hilbert, s'associa a cada tensor simple producte $x_1\otimes x_2$ l'operador de ranc un de $H_1^{*}$ a $H_2$ que assigna un $x^{*}\in H_1^{*}$ dau com

$x^{*}\mapsto x^{*}(x_1)x_2.$

Açò s'estén a una identificació llineal entre $H_1\otimes H_2$ i l'espai d'operadors de ranc finito de $H_1^{*}$ a $H_2.$ Els operadors de ranc finito estan integrats en l'espai de Hilbert $HS(H_1^{*},H_2)$ del operador de Hilbert-Schmidt de $H_1^{*}$ a $H_2.$ El producte escalar en $HS(H_1^{*},H_2)$ ve dau per

$⟨T_1,T_2⟩=\sum _n⟨T_1{e}_n^{*},T_2{e}_n^{*}⟩,$

a on $\left(e_n^{*}\right)$ és una base ortonormal arbitrària de $H_1^{*}.$

Baixe l'identificació anterior, es pot definir el producte tensorial hilbertiano de $H_1$ i $H_2,$ que és isomètrica i linealmente isomorfo a $HS(H_1^{*},H_2).$

Propietat universal

El producte tensorial de Hilbert $H_1\otimes H_2$ es caracterisa per la següent propietat universal Plantilla:Harv:

Existix una aplicació dèbil de Hilbert-Schmidt $p:H_1\times H_2\to H_1\otimes H_2$ tal que, donada qualsevol aplicació dèbil de Hilbert-Schmidt $L:H_1\times H_2\to K$ a un espai de Hilbert $K,$ existix un operador acotat únic $T:H_1\otimes H_2\to K$ tal que $L=Tp.$

Una aplicació dèbil de Hilbert-Schmidt $L:H_1\times H_2\to K$ es definix com una aplicació bilineal per a la que existix un número real $d$, tal que

$\sum _{i,j=1}^{\mathrm{\infty }}|⟨L(e_i,f_j),u⟩{|}^2\le d^2\Vert u{\Vert }^2$

per a totes les bases ortonormals $u\in K$ i una (per lo tant totes) $e_1,e_2,\dots$ de $H_1$ i $f_1,f_2,\dots$ de $H_2.$

Com ocorre en qualsevol propietat universal, açò caracterisa al producte tensorial H de forma única, fins a l'isomorfisme. La mateixa propietat universal, en modificacions òbvies, també s'aplica al producte tensorial de qualsevol número finito d'espais de Hilbert. És essencialment la mateixa propietat universal compartida per totes les definicions de productes tensoriales, independentment dels espais que es tensorizan: açò implica que qualsevol espai en un producte tensorial és una categoria monoidal simètrica, i els espais de Hilbert són un eixemple particular d'això.

Productes tensoriales infinits

Històricament s'han propost dos definicions diferents per al producte tensorial d'una colecció $\{H_n{\}}_{n\in N}$ d'espais de Hilbert de tamany arbitrari. La definició tradicional de Von Neumann simplement pren el producte tensorial "obvi": per a calcular $\underset{n}{⨂}{H}_n$, que no és més que el tensotorio en n dels $H_n$, primer es deuen recopilar tots els tensors simples de la forma $\underset{n\in N}{⨂}{e}_n$ tals que $\prod _{n\in N}\Vert e_n\Vert <\mathrm{\infty }$. Este últim descriu un producte pre-intern a través de l'identitat de polarisació, aixina que es deu prendre el tram tancat de mòduls de tals tensors simples dels subespacios d'isotropía del producte intern. Esta definició casi mai és separable, en part perque, en les seues aplicacions físiques, "la major part" de l'espai descriu estats impossibles. Els autors moderns solen utilisar en el seu lloc una definició deguda a Guichardet: per a calcular $\underset{n}{⨂}{H}_n$, primer seleccione's un vector unitari $v_n\in H_n$ en cada espai de Hilbert i després recopilen-se tots els tensors simples de la forma $\underset{n\in N}{⨂}{e}_n$, en els que solament un número finito de $e_n$ no són $v_n$. Després, prenga's la completación $L^2$ d'estos tensors simples.

Àlgebra d'operadors

Siga ${𝔄}_i$ l'àlgebra de von Neumann d'operadors acotats en $H_i$ per a $i=1,2.$ Llavors, el producte tensorial de von Neumann de les àlgebra de von Neumann és la completación forta del conjunt de totes les combinacions llineals finitas de productes tensoriales simples $A_1\otimes A_2$, a on $A_i\in {𝔄}_i$ per a $i=1,2.$ Açò és exactament igual a l'àlgebra de von Neumann d'operadors acotats de $H_1\otimes H_2.$ A diferència dels espais de Hilbert, es poden prendre productes tensoriales infinits de les àlgebra de von Neumann i, de fet, una C*-àlgebra d'operadors, sense definir estats de referència. Esta és una ventaja del método "algebraic" en la mecànica estadística quàntica.

Propietats

Si $H_1$ i $H_2$ tenen bases ortonormals $\left\{{\varphi }_k\right\}$ i $\left\{{\psi }_l\right\},$ respectivament, llavors $\{{\varphi }_k\otimes {\psi }_l\}$ és una base ortonormal per a $H_1\otimes H_2.$ En particular, la dimensió de Hilbert del producte tensorial és el producte (com número cardinal) de les dimensions de Hilbert.

Bibliografia

• (1997) Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I (vol. 15), Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0819-1..
• (1980) Linear operators in Hilbert spaces (vol. 68), Berlin, New York: Springer Science+Business Mija. ISBN 978-0-387-90427-6..